Questão 4. (2,0) Seja f uma função contínua em [a, b]. Suponha que
\int_{a}^{b}(f(x))^{2} d x=\int_{a}^{b}(f(x))^{3} d x=\int_{a}^{b}(f(x))^{4} d x
Mostre que f é constante em [a, b].
Dica: Utilize a função
g(x)=\left((f(x))^{2}-f(x)\right)^{2} .

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes hipóteses e pede uma conclusão:
  • f é contínua em [a,b].
  • As integrais satisfazem
\int_{a}^{b}(f(x))^{2}\,dx=\int_{a}^{b}(f(x))^{3}\,dx=\int_{a}^{b}(f(x))^{4}\,dx.
  • A dica fornece a função
g(x)=\bigl((f(x))^{2}-f(x)\bigr)^{2}.
O que se pede: mostrar que f é constante em [a,b].

Passo 2

Vamos escrever explicitamente g em termos de potências de f. Desenvolvendo o quadrado temos
g(x)=\bigl((f(x))^{2}-f(x)\bigr)^{2}=(f(x))^{4}-2(f(x))^{3}+(f(x))^{2}.
Aqui cada termo significa: (f(x))^{2} é o quadrado de f(x), (f(x))^{3} o cubo, e (f(x))^{4} a quarta potência.

Passo 3

Integramos g em [a,b]. Pela linearidade da integral,
\int_{a}^{b} g(x)\,dx=\int_{a}^{b} (f(x))^{4}\,dx -2\int_{a}^{b} (f(x))^{3}\,dx +\int_{a}^{b} (f(x))^{2}\,dx.
Pelas hipóteses do enunciado as três integrais à direita são iguais; chame esse valor comum de I, isto é,
\int_{a}^{b} (f(x))^{2}\,dx=\int_{a}^{b} (f(x))^{3}\,dx=\int_{a}^{b} (f(x))^{4}\,dx=I.
Substituindo na expressão para \int_{a}^{b} g obtemos
\int_{a}^{b} g(x)\,dx = I - 2I + I = 0.

Passo 4

Observe que g(x)=\bigl((f(x))^{2}-f(x)\bigr)^{2}\ge 0 para todo x, porque é um quadrado real. Além disso g é contínua (composição de funções contínuas). Agora usamos um fato elementar sobre integrais de funções contínuas não-negativas:
Teorema auxiliar (explicado): se h é contínua em [a,b], h(x)\ge 0 para todo x e \int_{a}^{b} h(x)\,dx=0, então h(x)=0 para todo x\in[a,b].
Prova curta desse fato: suponha, por contradição, que exista c\in[a,b] com h\text{(c)}>0. Como h é contínua, existe um intervalo aberto (c-\delta,c+\delta) contido em [a,b] em que h(x)\ge m>0 (onde m é, por exemplo, h\text{(c)}/2). Então
\int_{a}^{b} h(x)\,dx \ge \int_{c-\delta}^{c+\delta} h(x)\,dx \ge \int_{c-\delta}^{c+\delta} m\,dx = 2\delta m >0,
contradizendo \int_{a}^{b} h=0. Logo não existe tal c e portanto h\equiv 0.
Aplicando esse fato a g, como \int_{a}^{b} g(x)\,dx=0 e g\ge 0 contínua, concluímos
g(x)=0\quad\text{para todo }x\in[a,b].

Passo 5

Da igualdade g(x)=0 obtemos
\bigl((f(x))^{2}-f(x)\bigr)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad (f(x))^{2}-f(x)=0.
Fatorando,
f(x)\bigl(f(x)-1\bigr)=0.
Portanto, para cada x\in[a,b] vale que f(x)=0 ou f(x)=1. Ou seja, a imagem de f está contida no conjunto \{0,1\}.

Passo 6

Finalmente usemos a continuidade de f para concluir que f é constante. Suponha, por absurdo, que f não seja constante. Então existem pontos x_1,x_2\in[a,b] tais que f(x_1)=0 e f(x_2)=1. Pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário, f tomaria todos os valores entre 0 e 1, em particular algum valor 1/2 em algum ponto de [a,b]. Isso contradiz o fato deduzido no Passo 5 de que f só pode assumir os valores 0 ou 1. Portanto não existe tal par de pontos; a única possibilidade é que f seja constante igual a 0 em todo [a,b] ou constante igual a 1 em todo [a,b].

Resposta

f é constante em [a,b]; mais precisamente, f(x)\equiv 0 para todo x\in[a,b] ou f(x)\equiv 1 para todo x\in[a,b].

Exercícios relacionados