Questão 4.
Seja
uma função contínua em
. Suponha que
Mostre que
é constante em
.
Dica: Utilize a função
Dica: Utilize a função
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes hipóteses e pede uma conclusão:
-
é contínua em . - As integrais satisfazem
- A dica fornece a função
O que se pede: mostrar que
é constante em
.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente
em termos de potências de
. Desenvolvendo o quadrado temos
Aqui cada termo significa:
é o quadrado de
,
o cubo, e
a quarta potência.
Passo 3
Integramos
em
. Pela linearidade da integral,
Pelas hipóteses do enunciado as três integrais à direita são iguais; chame esse valor comum de
, isto é,
Substituindo na expressão para
obtemos
Passo 4
Observe que
para todo
, porque é um quadrado real. Além disso
é contínua (composição de funções contínuas). Agora usamos um fato elementar sobre integrais de funções contínuas não-negativas:
Teorema auxiliar (explicado): se
é contínua em
,
para todo
e
, então
para todo
.
Prova curta desse fato: suponha, por contradição, que exista
com
. Como
é contínua, existe um intervalo aberto
contido em
em que
(onde
é, por exemplo,
). Então
contradizendo
. Logo não existe tal
e portanto
.
Aplicando esse fato a
, como
e
contínua, concluímos
Passo 5
Da igualdade
obtemos
Fatorando,
Portanto, para cada
vale que
ou
. Ou seja, a imagem de
está contida no conjunto
.
Passo 6
Finalmente usemos a continuidade de
para concluir que
é constante. Suponha, por absurdo, que
não seja constante. Então existem pontos
tais que
e
. Pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário,
tomaria todos os valores entre
e
, em particular algum valor
em algum ponto de
. Isso contradiz o fato deduzido no Passo 5 de que
só pode assumir os valores
ou
. Portanto não existe tal par de pontos; a única possibilidade é que
seja constante igual a
em todo
ou constante igual a
em todo
.