Analise e responda:
Dados:
O Banco Aurora ofereceu um financiamento com:
  • Valor do financiamento: R$ 180.000,00
  • Prazo: 36 meses
  • Taxa de juros: 1,3% ao mês
  • Sistema de amortização: Francês (SAF/Price)
  • Prestação fixa durante todo o contrato
O Banco Horizonte ofereceu:
  • Valor do financiamento: R$ 180.000,00
  • Prazo: 36 meses
  • Taxa de juros: 1,3% ao mês
  • Sistema de amortização: Constante (SAC)
  • Amortização igual todo mês ( A= valor / prazo)
  • Parcelas decrescentes ao longo do contrato
    Qual reduz mais rápido o saldo devedor (Banco Aurora ou Banco Horizonte)?

Passo 1

O enunciado dá dois financiamentos idênticos em valor, prazo e taxa, só mudando o sistema de amortização. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Valor do financiamento: P = 180.000{,}00 (principal).
  • Prazo: n = 36 meses.
  • Taxa de juros mensal: i = 1{,}3\% = 0{,}013.
  • Banco Aurora: sistema francês (Price / SAF) — prestação fixa R durante todo o contrato.
  • Banco Horizonte: sistema de amortização constante (SAC) — amortização A constante igual a P/n; parcelas decrescentes.
Pergunta que o enunciado faz:
  • Qual reduz mais rápido o saldo devedor: o financiamento pelo Banco Aurora (Price) ou pelo Banco Horizonte (SAC)?

Passo 2

O que significa “reduzir mais rápido o saldo devedor”?
Significa que, levando em conta o mesmo número de meses desde o início, qual contrato deixa um saldo devedor (restante do principal) menor. Para comparar isso vou:
  • calcular a prestação fixa R do sistema Price e a amortização A do SAC;
  • calcular o abatimento do principal (a amortização efetiva) nos primeiros meses em cada sistema e os saldos devedores correspondentes;
  • argumentar (e mostrar com exemplos numéricos) qual sistema mantém o saldo devedor menor ao longo do contrato.

Passo 3

Fórmula da prestação no sistema Price (anuidade): a prestação fixa R é dada por
R = P \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1},
onde
  • P é o principal (valor financiado),
  • i é a taxa por período,
  • n é o número de períodos.
Vou calcular (1+i)^n e depois R. Para i=0{,}013 e n=36 usamos uma aproximação via logaritmo/exponencial para não depender de calculadora complexa:
(1+i)^n = (1{,}013)^{36} \approx \exp\big(36\ln(1{,}013)\big).
A aproximação da série dá \ln(1{,}013)\approx 0{,}012915, então
(1{,}013)^{36} \approx \exp(36\cdot 0{,}012915) = \exp(0{,}46494)\approx 1{,}5919.
Substituindo na fórmula de R:
R \approx 180.000 \cdot \frac{0{,}013\cdot 1{,}5919}{1{,}5919-1} =180.000\cdot\frac{0{,}0206947}{0{,}5919}\approx 180.000\cdot 0{,}034966\approx 6.293{,}88.
Portanto a prestação fixa no Price é aproximadamente \;R \approx 6.293{,}88 reais por mês.
Explicação rápida do que essa fórmula faz: a fração \dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1} é o fator que transforma um principal P numa série de n parcelas iguais com juros i. Cada prestação paga parte de juros e parte de principal; no começo a parte de juros é maior, a parte de principal menor, e ao longo do tempo a parte de principal aumenta.

Passo 4

Cálculo do primeiro mês no Price (Banco Aurora):
  • Juros do mês 1 sobre o saldo inicial:
J_1 = i\cdot P = 0{,}013\cdot 180.000 = 2.340{,}00.
  • Amortização do mês 1 (parte da prestação que efetivamente reduz o principal):
a_1 = R - J_1 \approx 6.293{,}88 - 2.340{,}00 = 3.953{,}88.
  • Saldo devedor após o pagamento 1 no Price:
B^{\text{Price}}_1 = P - a_1 \approx 180.000 - 3.953{,}88 = 176.046{,}12.
Comentário didático: no Price a amortização inicial é menor que a prestação porque boa parte da prestação paga juros; somente a diferença redução o principal.

Passo 5

Cálculo do primeiro mês no SAC (Banco Horizonte):
  • Amortização constante:
A = \frac{P}{n} = \frac{180.000}{36} = 5.000{,}00.
  • Juros do mês 1 sobre o saldo inicial (mesmo que no Price):
J_1 = i\cdot P = 2.340{,}00.
  • Parcela (pré) do mês 1 no SAC:
R^{\text{SAC}}_1 = A + J_1 = 5.000 + 2.340 = 7.340{,}00.
  • Saldo devedor após o pagamento 1 no SAC:
B^{\text{SAC}}_1 = P - A = 180.000 - 5.000 = 175.000{,}00.
Observação: a amortização mensal no SAC é maior do que a amortização inicial no Price ( 5.000{,}00 contra 3.953{,}88), portanto já no primeiro mês o saldo devedor do SAC fica menor.

Passo 6

Comparação numérica nos primeiros meses (e interpretação):
  • Após 1 mês:
    • B^{\text{Price}}_1 \approx 176.046{,}12.
    • B^{\text{SAC}}_1 = 175.000{,}00.
      Logo, o SAC deixou um saldo menor.
Para reforçar que isso não é só um acaso do primeiro mês, veja mais exemplos (apenas para ilustrar; os cálculos usam a mesma aproximação para potências):
  • Após 6 meses:
    • Saldo SAC: B^{\text{SAC}}_6 = P - 6A = 180.000 - 6\cdot 5.000 = 150.000{,}00.
    • Saldo Price (fórmula do saldo remanescente no Price — saldo é o valor presente das parcelas ainda por pagar): B^{\text{Price}}_6 = P(1+i)^6 - R\cdot\frac{(1+i)^6-1}{i}.Usando (1{,}013)^6\approx 1{,}0805 e R\approx 6.293{,}88 encontramos B^{\text{Price}}_6 \approx 180.000\cdot 1{,}0805 - 6.293{,}88\cdot\frac{0{,}0805}{0{,}013} \approx 194.490 - 38.955 \approx 155.535{,}00.
    Novamente B^{\text{Price}}_6 \approx 155.535{,}00 > 150.000{,}00 = B^{\text{SAC}}_6.
  • Após 12 meses:
    • B^{\text{SAC}}_{12} = 180.000 - 12\cdot 5.000 = 120.000{,}00.
    • Cálculo aproximado do Price dá B^{\text{Price}}_{12}\approx 129.124{,}00, ainda maior que o SAC.
Esses exemplos mostram consistentemente que o SAC reduz o saldo devedor mais rápido do que o Price para os mesmos P,n,i.

Passo 7

Intuição e razão geral (sem só depender de exemplos): por que o SAC reduz o principal mais rápido?
  • No SAC a amortização mensal é fixada em A = P/n. Isso significa que em cada mês o principal diminui exatamente em P/n.
  • No Price a amortização do mês k é a_k = R - i\cdot B_{k-1}^{\text{Price}}. No começo B_{k-1}^{\text{Price}} é grande, logo i\cdot B_{k-1}^{\text{Price}} (juros) é grande, e portanto a_k é menor que A. Ao longo do tempo a_k cresce, chegando a valores maiores que A apenas nos últimos meses, mas isso ocorre só depois de já ter havido muitos meses com amortização menor.
  • Consequência prática: o SAC “antecipa” mais amortização no início (pagamentos maiores logo no começo), enquanto o Price distribui o pagamento do principal mais para o final. Portanto, para qualquer mês intermediário (exceto possivelmente nos últimos meses muito próximos do final), o saldo do SAC será menor.
Em termos financeiros: como o SAC reduz o saldo mais rapidamente, os juros cobrados nos meses seguintes também serão menores no SAC — por isso o SAC normalmente tem menor custo total de juros, mas prestações iniciais maiores.

Passo 8

Resumo didático curto (como lembrar na prova):
  • Amortização constante (SAC): A=\dfrac{P}{n} é fixo; saldo decresce linearmente: B^{\text{SAC}}_k = P - kA.
  • Price (sistema francês): prestação fixa R calculada por \displaystyle R= P\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}; amortização inicial menor que A e aumenta com o tempo.
  • Conclusão prática: SAC reduz o saldo devedor mais rápido do que Price (para os mesmos P,n,i).

Resposta

Banco Horizonte (SAC) reduz mais rápido o saldo devedor.

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