Analise e responda:
Dados:
O Banco Aurora ofereceu um financiamento com:
- Valor do financiamento: R$ 180.000,00
- Prazo: 36 meses
- Taxa de juros: 1,3% ao mês
- Sistema de amortização: Francês (SAF/Price)
- Prestação fixa durante todo o contrato
O Banco Horizonte ofereceu:
- Valor do financiamento: R$ 180.000,00
- Prazo: 36 meses
- Taxa de juros: 1,3% ao mês
- Sistema de amortização: Constante (SAC)
- Amortização igual todo mês (
valor / prazo)
- Parcelas decrescentes ao longo do contrato
Qual reduz mais rápido o saldo devedor (Banco Aurora ou Banco Horizonte)?
O Banco Aurora ofereceu um financiamento com:
Qual reduz mais rápido o saldo devedor (Banco Aurora ou Banco Horizonte)?
Passo 1
O enunciado dá dois financiamentos idênticos em valor, prazo e taxa, só mudando o sistema de amortização. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Valor do financiamento:
(principal). - Prazo:
meses. - Taxa de juros mensal:
. - Banco Aurora: sistema francês (Price / SAF) — prestação fixa
durante todo o contrato. - Banco Horizonte: sistema de amortização constante (SAC) — amortização
constante igual a ; parcelas decrescentes.
Pergunta que o enunciado faz:
- Qual reduz mais rápido o saldo devedor: o financiamento pelo Banco Aurora (Price) ou pelo Banco Horizonte (SAC)?
Passo 2
O que significa “reduzir mais rápido o saldo devedor”?
Significa que, levando em conta o mesmo número de meses desde o início, qual contrato deixa um saldo devedor (restante do principal) menor. Para comparar isso vou:
Significa que, levando em conta o mesmo número de meses desde o início, qual contrato deixa um saldo devedor (restante do principal) menor. Para comparar isso vou:
- calcular a prestação fixa
do sistema Price e a amortização do SAC; - calcular o abatimento do principal (a amortização efetiva) nos primeiros meses em cada sistema e os saldos devedores correspondentes;
- argumentar (e mostrar com exemplos numéricos) qual sistema mantém o saldo devedor menor ao longo do contrato.
Passo 3
Fórmula da prestação no sistema Price (anuidade): a prestação fixa
é dada por
onde
-
é o principal (valor financiado), -
é a taxa por período, -
é o número de períodos.
Vou calcular
e depois
. Para
e
usamos uma aproximação via logaritmo/exponencial para não depender de calculadora complexa:
A aproximação da série dá
, então
Substituindo na fórmula de
:
Portanto a prestação fixa no Price é aproximadamente
reais por mês.
Explicação rápida do que essa fórmula faz: a fração
é o fator que transforma um principal
numa série de
parcelas iguais com juros
. Cada prestação paga parte de juros e parte de principal; no começo a parte de juros é maior, a parte de principal menor, e ao longo do tempo a parte de principal aumenta.
Passo 4
Cálculo do primeiro mês no Price (Banco Aurora):
- Juros do mês 1 sobre o saldo inicial:
- Amortização do mês 1 (parte da prestação que efetivamente reduz o principal):
- Saldo devedor após o pagamento 1 no Price:
Comentário didático: no Price a amortização inicial é menor que a prestação porque boa parte da prestação paga juros; somente a diferença redução o principal.
Passo 5
Cálculo do primeiro mês no SAC (Banco Horizonte):
- Amortização constante:
- Juros do mês 1 sobre o saldo inicial (mesmo que no Price):
- Parcela (pré) do mês 1 no SAC:
- Saldo devedor após o pagamento 1 no SAC:
Observação: a amortização mensal no SAC é maior do que a amortização inicial no Price (
contra
), portanto já no primeiro mês o saldo devedor do SAC fica menor.
Passo 6
Comparação numérica nos primeiros meses (e interpretação):
- Após 1 mês:
-
. -
.
Logo, o SAC deixou um saldo menor.
-
Para reforçar que isso não é só um acaso do primeiro mês, veja mais exemplos (apenas para ilustrar; os cálculos usam a mesma aproximação para potências):
-
Após 6 meses:
- Saldo SAC:
- Saldo Price (fórmula do saldo remanescente no Price — saldo é o valor presente das parcelas ainda por pagar):
Usando e encontramos
Novamente. - Saldo SAC:
-
Após 12 meses:
-
- Cálculo aproximado do Price dá
, ainda maior que o SAC.
-
Esses exemplos mostram consistentemente que o SAC reduz o saldo devedor mais rápido do que o Price para os mesmos
.
Passo 7
Intuição e razão geral (sem só depender de exemplos): por que o SAC reduz o principal mais rápido?
- No SAC a amortização mensal é fixada em
. Isso significa que em cada mês o principal diminui exatamente em . - No Price a amortização do mês
é . No começo é grande, logo (juros) é grande, e portanto é menor que . Ao longo do tempo cresce, chegando a valores maiores que apenas nos últimos meses, mas isso ocorre só depois de já ter havido muitos meses com amortização menor. - Consequência prática: o SAC “antecipa” mais amortização no início (pagamentos maiores logo no começo), enquanto o Price distribui o pagamento do principal mais para o final. Portanto, para qualquer mês intermediário (exceto possivelmente nos últimos meses muito próximos do final), o saldo do SAC será menor.
Em termos financeiros: como o SAC reduz o saldo mais rapidamente, os juros cobrados nos meses seguintes também serão menores no SAC — por isso o SAC normalmente tem menor custo total de juros, mas prestações iniciais maiores.
Passo 8
Resumo didático curto (como lembrar na prova):
- Amortização constante (SAC):
é fixo; saldo decresce linearmente: . - Price (sistema francês): prestação fixa
calculada por ; amortização inicial menor que e aumenta com o tempo. - Conclusão prática: SAC reduz o saldo devedor mais rápido do que Price (para os mesmos
).
Resposta
Banco Horizonte (SAC) reduz mais rápido o saldo devedor.