Uma sala de estar possui dimensões do piso de 3,5 \mathrm{~m} por 4,2 \mathrm{~m} e uma altura de 2,4 \mathrm{~m}.
a) Quanto pesa o ar na sala quando a pressão do ar é de 1 atm ?
b) Qual a intensidade da força da atmosfera sobre o piso da sala?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) “Quanto pesa o ar na sala quando a pressão do ar é de 1 atm?” — vou interpretar aqui “pesa” como a massa do ar na sala, em quilogramas. (Se você quiser o peso como força em newtons eu também calculo, é só avisar.)
  2. (b) “Qual a intensidade da força da atmosfera sobre o piso da sala?” — isto é a força exercida pela pressão atmosférica sobre a área do piso, em newtons.
Dados fornecidos no enunciado:
  • comprimento do piso: 3,5\\ \mathrm{m}.
  • largura do piso: 4,2\\ \mathrm{m}.
  • altura da sala: 2,4\\ \mathrm{m}.
  • pressão do ar: 1\\ \text{atm}.
Observação necessária (assunção): para calcular a massa do ar usando a lei dos gases ideais precisamos da temperatura. Vou assumir temperatura ambiente típica 20^\circ\mathrm{C}, isto é T=293\\ \mathrm{K}. Se você tiver outra temperatura, o valor muda um pouco.
Constantes que usarei:
  • constante universal dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • massa molar média do ar: M=0{,}029\\ \mathrm{kg/mol} (aproximação para ar seco).
  • pressão atmosférica: vou usar 1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • aceleração da gravidade (se eu calcular peso-força): g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Calcula-se primeiro o volume da sala. O volume é o produto da área do piso pela altura:
V = (\text{comprimento})\times(\text{largura})\times(\text{altura}).
Substituindo os valores:
V = 3{,}5\\ \mathrm{m}\times 4{,}2\\ \mathrm{m}\times 2{,}4\\ \mathrm{m}.
Faço as contas passo a passo: 3{,}5\times4{,}2=14{,}7. Então
V = 14{,}7\\ \mathrm{m^{2}}\times 2{,}4\\ \mathrm{m}=35{,}28\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Agora precisamos da densidade do ar sob as condições dadas. Usamos a lei dos gases ideais:
pV = nRT,
onde
  • p é a pressão absoluta (em Pa),
  • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura em kelvin.
Queremos a densidade \rho (massa por volume). A massa m do gás relaciona-se com o número de mols por m = nM, onde M é a massa molar (em \mathrm{kg/mol}). Substituindo n = m/M na lei dos gases:
pV = \frac{m}{M}RT \quad\Rightarrow\quad m = \frac{pM}{RT}V.
Dividindo por V temos a densidade:
\rho = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT}.
Aqui explico o significado de cada símbolo para ficar bem claro:
  • \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^{3}},
  • p é a pressão em \mathrm{Pa},
  • M é a massa molar em \mathrm{kg/mol},
  • R é 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura em \mathrm{K}.

Passo 4

Vou calcular numericamente a densidade usando p=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, M=0{,}029\\ \mathrm{kg/mol} e T=293\\ \mathrm{K}:
\rho = \frac{pM}{RT} = \frac{1{,}013\times10^{5}\times 0{,}029}{8{,}314\times 293}.
Faço as contas em duas partes:
  • Numerador: 1{,}013\times10^{5}\times 0{,}029 = 1{,}013\times10^{5}\times0{,}029 \approx 2\,937{,}7.
  • Denominador: 8{,}314\times 293 \approx 2\,436{,}0.
    Dividindo:
\rho \approx \frac{2\,937{,}7}{2\,436{,}0}\\ \mathrm{kg/m^{3}}\approx 1{,}206\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(Isto bate com o valor conhecido de densidade do ar a 20^\circ C e 1 atm, cerca de 1{,}20\\ \mathrm{kg/m^{3}}.)

Passo 5

Agora encontro a massa total de ar na sala usando m=\rho V. Já temos V=35{,}28\\ \mathrm{m^{3}} e \rho\approx 1{,}206\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
m = 1{,}206\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 35{,}28\\ \mathrm{m^{3}}.
Multiplicando:
m \approx 42{,}6\\ \mathrm{kg}.
Se você também quiser o peso (força gravitacional) desse ar, calcula-se W=m g:
W = 42{,}6\\ \mathrm{kg}\times 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 417\\ \mathrm{N}.
Mas o enunciado (b) pede outra força: a força da atmosfera sobre o piso.

Passo 6

Para a parte (b) usamos o fato que pressão é força por unidade de área:
p = \frac{F}{A} \quad\Rightarrow\quad F = pA,
onde A é a área do piso. A área do piso já calculada parcialmente é A = 3{,}5\\ \mathrm{m}\times 4{,}2\\ \mathrm{m}=14{,}7\\ \mathrm{m^{2}}.
Usando p=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
F = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\times 14{,}7\\ \mathrm{m^{2}}.
Faço a multiplicação:
F \approx 1{,}489{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Isto significa que a atmosfera exerce uma força de aproximadamente 1{,}49\times10^{6}\\ \mathrm{N} para baixo sobre o piso (note que essa força é praticamente balanceada pela força do piso para cima, por isso não somos esmagados).

Resposta

(a) m \approx 42{,}6\\ \mathrm{kg}
(b) F \approx 1{,}49\times10^{6}\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados