Analise as seguintes afirmações:
I) Num sistema isolado de forças o momento linear de cada componente do sistema se mantém
II) Num sistema isolado de forças o momento linear total do sistema se mantém
III) O Teorema do Impulso afirma que o vetor impulso que um corpo recebe é igual à variação vetorial de seu momento linear
Assinale a alternativa que julga corretamente, na ordem dada, as afirmações:
a) VVV
b) VFF
c) FVV
d) FFF

Passo 1

O enunciado pede que eu avalie as três afirmações e escolha, na ordem I–III, quais são verdadeiras (V) ou falsas (F). As afirmações são:
I) Num sistema isolado de forças o momento linear de cada componente do sistema se mantém.
II) Num sistema isolado de forças o momento linear total do sistema se mantém.
III) O Teorema do Impulso afirma que o vetor impulso que um corpo recebe é igual à variação vetorial de seu momento linear.
Preciso decidir se cada uma é verdadeira ou falsa e então indicar a alternativa correta entre (a) a (d).

Passo 2

O que é momento linear? Para uma partícula de massa \,m e velocidade \mathbf{v} definimos o momento linear como
\mathbf{p}=m\mathbf{v}.
Para um sistema com várias partículas, o momento linear total é a soma dos momentos de cada partícula:
\mathbf{P}=\sum_{i}\mathbf{p}_i=\sum_{i} m_i\mathbf{v}_i.
Vou usar essas definições para falar de conservação e do papel das forças.

Passo 3

Derivação da conservação do momento linear total num sistema isolado (passo didático):
  • Pela segunda lei de Newton para a partícula i temos a variação temporal do momento da partícula igual à soma das forças sobre ela:
\frac{d\mathbf{p}_i}{dt}=\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}+\mathbf{F}_i^{(\text{ext})},
onde \mathbf{F}_{ij} é a força que a partícula j exerce sobre i, e \mathbf{F}_i^{(\text{ext})} são forças externas sobre i.
  • Somando essa equação sobre todas as partículas:
\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\sum_i\frac{d\mathbf{p}_i}{dt}=\sum_i\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}+\sum_i\mathbf{F}_i^{(\text{ext})}.
  • Pelo princípio da ação e reação (terceira lei de Newton) temos \mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}. Assim, o somatório duplo das forças internas se cancela par a par:
\sum_i\sum_{j\ne i}\mathbf{F}_{ij}=0.
  • Logo sobra
\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\sum_i\mathbf{F}_i^{(\text{ext})}=\mathbf{F}_{\text{ext,total}}.
  • Se o sistema é isolado, por definição não há forças externas efetivas, então \mathbf{F}_{\text{ext,total}}=\mathbf{0} e portanto
\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{P}=\text{constante.}
Conclusão deste passo: o momento linear total do sistema é conservado em sistema isolado. Isso responde diretamente à afirmação II: ela é verdadeira.

Passo 4

Por que a afirmação I é falsa? Explicando devagar:
  • A conservação que provamos é para o momento linear total \mathbf{P}, soma de todos os \mathbf{p}_i.
  • As forças internas entre partículas podem trocar momento entre elas: a partícula i pode receber impulso de j e assim seu \mathbf{p}_i muda, enquanto \mathbf{p}_j muda de modo compensador. O somatório permanece, mas cada componente individual não precisa permanecer.
  • Exemplo fácil de visualizar: duas massas m_1 e m_2 que colidem no sistema isolado. Antes da colisão cada uma tem um \mathbf{p}_1 e \mathbf{p}_2; durante a colisão forças internas atuam trocando momento entre elas, de modo que \mathbf{p}_1 e \mathbf{p}_2 mudam, embora \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2 permaneça constante.
  • Portanto afirmar que “o momento linear de cada componente do sistema se mantém” é geralmente falso (só seria verdade em situações especiais, por exemplo quando não há interação ou quando a força sobre cada partícula é nula).
Conclusão: afirmação I é falsa.

Passo 5

Verificação do Teorema do Impulso (afirmação III):
  • Para uma única partícula, pela segunda lei temos \mathbf{F}=\dfrac{d\mathbf{p}}{dt}.
  • Integrando ambos os lados no intervalo de tempo de t_1 a t_2:
\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\,dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d\mathbf{p}}{dt}\,dt=\mathbf{p}(t_2)-\mathbf{p}(t_1)=\Delta\mathbf{p}.
  • Definimos o impulso \mathbf{J} como a integral da força no tempo:
\mathbf{J}=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\,dt.
  • Logo o Teorema do Impulso afirma exatamente que
\mathbf{J}=\Delta\mathbf{p},
ou seja, o vetor impulso recebido é igual à variação vetorial do momento linear. Isso é verdadeiro e vale tanto para magnitude quanto para direção (é vetorial).
Conclusão: afirmação III é verdadeira.

Passo 6

Resumindo as três conclusões:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto a sequência é F V V, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) FVV

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