Considere um oscilador amortecido cuja posição é descrita pela equação de movimento \ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0.
(a) (1,2 pontos ) Mostre que a solução geral da equação de movimento no regime subcrítico é dada por
x(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2} t} \cos (\omega t+\varphi)
e escreva a frequência angular \omega em termos de \omega_{0} e de \gamma. As constantes A e \varphi correspondem à amplitude inicial e à constante de fase.
(b) ( \mathbf{1}, \mathbf{0} pontos) No caso em que o oscilador é fracamente amortecido \gamma \ll \omega_{0}, é conveniente definir a razão R entre dois máximos consecutivos do deslocamento (o menor máximo dividido pelo máximo anterior). O parâmetro \delta=|\ln R| é denominado decremento logarítmico. Relacione \delta com a constante de amortecimento \gamma e o com o período \tau do oscilador.
(c) (0,8 pontos ) Obtenha \delta no caso em que, passados três períodos de oscilação, a amplitude de oscilação cai à metade do valor inicial. Usar a aproximação \ln 2 \approx 0,69.
OBS: Todas as respostas devem ser justificadas

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento
\ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0
e pede três coisas:
(a) Mostrar que, no regime subcrítico, a solução geral pode ser escrita como
x(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2} t}\cos(\omega t+\varphi)
e escrever \omega em termos de \omega_{0} e \gamma. As constantes A e \varphi são a amplitude inicial e a fase constante.
(b) Para o caso de amortecimento fraco \gamma\ll\omega_{0}: definir a razão R entre dois máximos consecutivos do deslocamento (menor máximo dividido pelo anterior) e o decremento logarítmico \delta=|\ln R|. Relacionar \delta com \gamma e com o período \tau do oscilador.
(c) Calcular \delta quando, após três períodos, a amplitude cai à metade do valor inicial (usar \ln 2\approx 0,69).
Informações relevantes dadas/implícitas: condição de regime subcrítico significa que o discriminante do polinómio característico é negativo (ou seja \gamma^{2}<4\omega_{0}^{2}); no caso fraco temos \gamma\ll\omega_{0}. Não há outras condições iniciais numéricas, então as constantes A,\varphi permanecem simbólicas.

Passo 2

Vamos resolver a equação linear com coeficientes constantes. Primeiro escreve-se o polinómio característico associado supondo uma solução do tipo x(t)=e^{rt}:
r^{2}+\gamma r+\omega_{0}^{2}=0.
Isso é só aplicar a substituição padrão \ddot{x}\to r^{2}e^{rt}, \dot{x}\to r e^{rt}, x\to e^{rt} e cancelar o factor e^{rt} (que nunca é zero). A solução para r vem da fórmula quadrática:
r=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2}.

Passo 3

No regime subcrítico a raiz do discriminante é negativa, isto é \gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}<0. Então as raízes são complexas conjugadas e escrevemos
r=-\frac{\gamma}{2}\pm i\omega,
onde \omega é a parte imaginária positiva. Igualando as partes imaginárias obtemos
\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}.
Aqui \omega é a frequência angular das oscilações amortecidas (note que é menor que \omega_{0} quando \gamma>0).

Passo 4

As soluções reais associadas a raízes complexas conjugadas têm a forma
x(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\big(B\cos(\omega t)+C\sin(\omega t)\big),
onde B e C são constantes reais determinadas pelas condições iniciais. Esta expressão vem da combinação linear das exponenciais complexas e da identidade e^{i\theta}= \cos\theta + i\sin\theta. Para escrever no formato pedido, usamos a identidade de soma de fases: existem A\ge0 e \varphi tais que
B\cos(\omega t)+C\sin(\omega t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Portanto a solução pode ser escrita como
x(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega t+\varphi),
com \omega dado acima e A,\varphi fixados pelas condições iniciais. Assim mostramos a forma pedida em (a).

Passo 5

Agora vamos relacionar o decremento logarítmico \delta com \gamma e o período \tau. Primeiro identifiquemos os tempos dos máximos consecutivos da função x(t). A função oscilatória dentro do envelope é \cos(\omega t+\varphi); seus máximos (valores de cosseno iguais a +1) ocorrem quando
\omega t+\varphi = 2\pi n
para inteiros n. Assim os tempos desses máximos são
t_{n}=\frac{2\pi n-\varphi}{\omega}.
A diferença entre dois máximos consecutivos é o período
\tau=t_{n+1}-t_{n}=\frac{2\pi}{\omega}.

Passo 6

O valor do deslocamento no n-ésimo máximo é o produto da amplitude do envelope pelo valor máximo do cosseno, ou seja
x(t_{n})=A e^{-\frac{\gamma}{2}t_{n}}\cdot 1 = A e^{-\frac{\gamma}{2}t_{n}}.
A razão entre dois máximos consecutivos (menor sobre o anterior) é então
R=\frac{x(t_{n+1})}{x(t_{n})} = \frac{A e^{-\frac{\gamma}{2}t_{n+1}}}{A e^{-\frac{\gamma}{2}t_{n}}} = e^{-\frac{\gamma}{2}(t_{n+1}-t_{n})} = e^{-\frac{\gamma}{2}\tau}.
Tomando o logaritmo (e o valor absoluto, embora aqui o log seja negativo), obtemos o decremento logarítmico
\delta = |\ln R| = \frac{\gamma}{2}\,\tau.
Esta é a relação pedida em (b). Para amortecimento fraco, \omega\approx\omega_{0} e portanto \tau\approx 2\pi/\omega_{0}, se quiser aproximar ainda mais.

Passo 7

Agora solução do item (c). Diz-se que, passados três períodos, a amplitude cai à metade da inicial. O fator pelo qual a amplitude muda em três períodos é
\frac{x(t_{n+3})}{x(t_{n})}=e^{-\frac{\gamma}{2}(t_{n+3}-t_{n})} = e^{-\frac{\gamma}{2}\,(3\tau)}.
Se isso é igual a 1/2, temos
e^{-\frac{\gamma}{2}\,3\tau}=\frac{1}{2}.
Tirando logaritmo natural dos dois lados:
-\frac{\gamma}{2}\,3\tau = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2.
Cancelando sinais e isolando \frac{\gamma\tau}{2} (que é exatamente \delta do item (b)) obtemos
\delta=\frac{\gamma\tau}{2}=\frac{1}{3}\ln 2.
Usando a aproximação \ln 2\approx 0,69 segue
\delta\approx\frac{0,69}{3}\approx 0,23.

Resposta

(a) x(t)=A e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega t+\varphi), \displaystyle \omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}.
(b) \displaystyle \delta=\frac{\gamma\,\tau}{2}.
(c) \displaystyle \delta=\frac{1}{3}\ln 2\approx 0,23.

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