Considere um oscilador amortecido cuja posição é descrita pela equação de movimento
.
(a)
pontos
Mostre que a solução geral da equação de movimento no regime subcrítico é dada por
e escreva a frequência angular
em termos de
e de
. As constantes
e
correspondem à amplitude inicial e à constante de fase.
(b) (
pontos) No caso em que o oscilador é fracamente amortecido
, é conveniente definir a razão
entre dois máximos consecutivos do deslocamento (o menor máximo dividido pelo máximo anterior). O parâmetro
é denominado decremento logarítmico. Relacione
com a constante de amortecimento
e o com o período
do oscilador.
(c)
pontos
Obtenha
no caso em que, passados três períodos de oscilação, a amplitude de oscilação cai à metade do valor inicial. Usar a aproximação
.
OBS: Todas as respostas devem ser justificadas
(a)
(b) (
(c)
OBS: Todas as respostas devem ser justificadas
Passo 1
O enunciado dá a equação de movimento
e pede três coisas:
(a) Mostrar que, no regime subcrítico, a solução geral pode ser escrita como
(a) Mostrar que, no regime subcrítico, a solução geral pode ser escrita como
e escrever
em termos de
e
. As constantes
e
são a amplitude inicial e a fase constante.
(b) Para o caso de amortecimento fraco : definir a razão
entre dois máximos consecutivos do deslocamento (menor máximo dividido pelo anterior) e o decremento logarítmico
. Relacionar
com
e com o período
do oscilador.
(c) Calcular quando, após três períodos, a amplitude cai à metade do valor inicial (usar
).
Informações relevantes dadas/implícitas: condição de regime subcrítico significa que o discriminante do polinómio característico é negativo (ou seja ); no caso fraco temos
. Não há outras condições iniciais numéricas, então as constantes
permanecem simbólicas.
(b) Para o caso de amortecimento fraco
(c) Calcular
Informações relevantes dadas/implícitas: condição de regime subcrítico significa que o discriminante do polinómio característico é negativo (ou seja
Passo 2
Vamos resolver a equação linear com coeficientes constantes. Primeiro escreve-se o polinómio característico associado supondo uma solução do tipo
:
Isso é só aplicar a substituição padrão
,
,
e cancelar o factor
(que nunca é zero). A solução para
vem da fórmula quadrática:
Passo 3
No regime subcrítico a raiz do discriminante é negativa, isto é
. Então as raízes são complexas conjugadas e escrevemos
onde
é a parte imaginária positiva. Igualando as partes imaginárias obtemos
Aqui
é a frequência angular das oscilações amortecidas (note que é menor que
quando
).
Passo 4
As soluções reais associadas a raízes complexas conjugadas têm a forma
onde
e
são constantes reais determinadas pelas condições iniciais. Esta expressão vem da combinação linear das exponenciais complexas e da identidade
. Para escrever no formato pedido, usamos a identidade de soma de fases: existem
e
tais que
Portanto a solução pode ser escrita como
com
dado acima e
fixados pelas condições iniciais. Assim mostramos a forma pedida em (a).
Passo 5
Agora vamos relacionar o decremento logarítmico
com
e o período
. Primeiro identifiquemos os tempos dos máximos consecutivos da função
. A função oscilatória dentro do envelope é
; seus máximos (valores de cosseno iguais a
) ocorrem quando
para inteiros
. Assim os tempos desses máximos são
A diferença entre dois máximos consecutivos é o período
Passo 6
O valor do deslocamento no
-ésimo máximo é o produto da amplitude do envelope pelo valor máximo do cosseno, ou seja
A razão entre dois máximos consecutivos (menor sobre o anterior) é então
Tomando o logaritmo (e o valor absoluto, embora aqui o log seja negativo), obtemos o decremento logarítmico
Esta é a relação pedida em (b). Para amortecimento fraco,
e portanto
, se quiser aproximar ainda mais.
Passo 7
Agora solução do item (c). Diz-se que, passados três períodos, a amplitude cai à metade da inicial. O fator pelo qual a amplitude muda em três períodos é
Se isso é igual a
, temos
Tirando logaritmo natural dos dois lados:
Cancelando sinais e isolando
(que é exatamente
do item (b)) obtemos
Usando a aproximação
segue
Resposta
(a)
,
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)