Analise se as seguintes afirmações são falsas ou verdadeiras. Justifique.
a) Toda sequência convergente é limitada.
b) Toda sequência limitada é convergente.
c) Toda sequência limitada é monótona.
d) Toda sequência monótona é convergente.
e) A soma de duas sequências divergentes é divergente.
f) Toda sequência divergente é monótona.
g) Toda sequência divergente é não-limitada.
h) Toda sequência alternada é divergente.
a) Toda sequência convergente é limitada.
b) Toda sequência limitada é convergente.
c) Toda sequência limitada é monótona.
d) Toda sequência monótona é convergente.
e) A soma de duas sequências divergentes é divergente.
f) Toda sequência divergente é monótona.
g) Toda sequência divergente é não-limitada.
h) Toda sequência alternada é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos cada afirmação sobre sequências como verdadeira ou falsa, usando definições de sequência convergente, limitada, monótona e divergente, e dando exemplos ou teoremas que justifiquem cada resposta.
Passo 2
Afirmação (a): “Toda sequência convergente é limitada.”
Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, se converge para
, existe
tal que para
vale
. Logo os termos de índice grande estão no intervalo
e os primeiros
são finitos, então existe
tal que
para todo
. Portanto é verdadeira.
Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, se
Passo 3
Afirmação (b): “Toda sequência limitada é convergente.”
Isto seria o recíproco da parte (a), mas não vale em geral. Contraexemplo: é limitada em
mas não converge, pois oscila entre
e
. Logo é falsa.
Isto seria o recíproco da parte (a), mas não vale em geral. Contraexemplo:
Passo 4
Afirmação (c): “Toda sequência limitada é monótona.”
Também é falsa: o mesmo contraexemplo é limitada mas não é nem crescente nem decrescente. Logo falsa.
Também é falsa: o mesmo contraexemplo
Passo 5
Afirmação (d): “Toda sequência monótona é convergente.”
Uma sequência monótona crescente só garante convergência se for também limitada. Contraexemplo: é monótona crescente mas diverge para
. Logo é falsa.
Uma sequência monótona crescente só garante convergência se for também limitada. Contraexemplo:
Passo 6
Afirmação (e): “A soma de duas sequências divergentes é divergente.”
Também é falsa: tome (diverge para
) e
(diverge para
). Então
, que converge. Logo falsa.
Também é falsa: tome
Passo 7
Afirmação (f): “Toda sequência divergente é monótona.”
Não há razão para que uma sequência que não converge deva ser crescente ou decrescente. Exemplo: diverge e não é monotônica (os sinais e módulos alternam). Logo falsa.
Não há razão para que uma sequência que não converge deva ser crescente ou decrescente. Exemplo:
Passo 8
Afirmação (g): “Toda sequência divergente é não-limitada.”
Também falsa: uma sequência pode ser limitada mas não convergir, como . É limitada em
porém diverge. Logo falsa.
Também falsa: uma sequência pode ser limitada mas não convergir, como
Passo 9
Afirmação (h): “Toda sequência alternada é divergente.”
Sequência alternada significa que muda de sinal, mas pode convergir se o módulo cair. Exemplo: converge a
. Logo falsa.
Sequência alternada significa que muda de sinal, mas pode convergir se o módulo cair. Exemplo:
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Falsa