Analise se as seguintes afirmações são falsas ou verdadeiras. Justifique.
a) Toda sequência convergente é limitada.
b) Toda sequência limitada é convergente.
c) Toda sequência limitada é monótona.
d) Toda sequência monótona é convergente.
e) A soma de duas sequências divergentes é divergente.
f) Toda sequência divergente é monótona.
g) Toda sequência divergente é não-limitada.
h) Toda sequência alternada é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos cada afirmação sobre sequências como verdadeira ou falsa, usando definições de sequência convergente, limitada, monótona e divergente, e dando exemplos ou teoremas que justifiquem cada resposta.

Passo 2

Afirmação (a): “Toda sequência convergente é limitada.”
Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, se (xn) converge para L, existe N tal que para n>= N vale lvert xn - Lrvert<1. Logo os termos de índice grande estão no intervalo (L-1,L+1) e os primeiros N-1 são finitos, então existe M tal que lvert xnrvert<= M para todo n. Portanto é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Toda sequência limitada é convergente.”
Isto seria o recíproco da parte (a), mas não vale em geral. Contraexemplo: xn = (-1)^n é limitada em -1,1 mas não converge, pois oscila entre -1 e 1. Logo é falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “Toda sequência limitada é monótona.”
Também é falsa: o mesmo contraexemplo xn = (-1)^n é limitada mas não é nem crescente nem decrescente. Logo falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Toda sequência monótona é convergente.”
Uma sequência monótona crescente só garante convergência se for também limitada. Contraexemplo: xn = n é monótona crescente mas diverge para +infty. Logo é falsa.

Passo 6

Afirmação (e): “A soma de duas sequências divergentes é divergente.”
Também é falsa: tome an = n (diverge para +infty) e bn = -n (diverge para -infty). Então an + bn = 0, que converge. Logo falsa.

Passo 7

Afirmação (f): “Toda sequência divergente é monótona.”
Não há razão para que uma sequência que não converge deva ser crescente ou decrescente. Exemplo: xn = (-1)^n n diverge e não é monotônica (os sinais e módulos alternam). Logo falsa.

Passo 8

Afirmação (g): “Toda sequência divergente é não-limitada.”
Também falsa: uma sequência pode ser limitada mas não convergir, como xn=(-1)^n. É limitada em [-1,1] porém diverge. Logo falsa.

Passo 9

Afirmação (h): “Toda sequência alternada é divergente.”
Sequência alternada significa que muda de sinal, mas pode convergir se o módulo cair. Exemplo: xn = (-1)^n/n converge a 0. Logo falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Falsa

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