Aņalise os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para analisar o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser analisada é
. - Estamos interessados no comportamento quando
se aproxima de (direita, esquerda e total). - Não há outras condições explícitas (por exemplo, continuidade no ponto), então devemos investigar a forma da expressão perto de
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão passo a passo (isso facilita muito na prova).
Primeiro simplificamos o que está no denominador do numerador:
Primeiro simplificamos o que está no denominador do numerador:
Portanto o numerador fica
. Agora escrevemos a expressão inteira:
Uma fração dividida por
é o mesmo que multiplicar pelo inverso de
. Então
Explicação didática: usar a regra
. Aqui
,
,
.
Passo 3
Análise do domínio e do comportamento próximo de
.
- A expressão simplificada é
. - Essa função não está definida em
(pois haveria divisão por zero) nem em . - Para estudar o limite quando
precisamos observar o sinal e a ordem de grandeza de quando é pequeno (positivo ou negativo).
No ponto
temos
. Logo, para
muito próximo de
podemos pensar que
está próximo de
, e o comportamento dominador é dado por
. Isso já nos dá a intuição: como
tende para
quando
e para
quando
, a expressão deverá seguir o mesmo padrão, ajustada pelo fator que tende a
.
Passo 4
Cálculo rigoroso das limites laterais usando sinal e aproximação:
- Para
temos pequeno e , então . O numerador fixo é , então é positivo e cresce sem limite quando vai a . Portanto
- Para
temos pequeno e (porque está próximo de , não de ), então . Assim a fração é negativa e seu módulo cresce sem limite quando . Portanto
Observação didática: em provas, ao ver uma expressão do tipo
onde
quando
, você já sabe que o comportamento é o de
multiplicado por
— ou seja, tende a
ou
conforme o sinal de
e de
. Aqui
.
Passo 5
Conclusão final sobre o limite bilateral:
- Como os limites laterais não coincidem (um dá
e o outro ), o limite bilateral não existe como número finito. Podemos dizer que a função diverge: não há limite finito em .