Aņalise os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3+x-2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3+x-2}}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é \frac{\frac{1}{3+x-2}}{x}.
  • Estamos interessados no comportamento quando x se aproxima de 0 (direita, esquerda e total).
  • Não há outras condições explícitas (por exemplo, continuidade no ponto), então devemos investigar a forma da expressão perto de x=0.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão passo a passo (isso facilita muito na prova).
Primeiro simplificamos o que está no denominador do numerador:
3+x-2 = 1+x.
Portanto o numerador fica \displaystyle \frac{1}{1+x}. Agora escrevemos a expressão inteira:
\frac{\frac{1}{3+x-2}}{x} = \frac{\frac{1}{1+x}}{x}.
Uma fração dividida por x é o mesmo que multiplicar pelo inverso de x. Então
\frac{\frac{1}{1+x}}{x} = \frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x(1+x)}.
Explicação didática: usar a regra \dfrac{a/b}{c} = \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{1}{c} = \dfrac{a}{bc}. Aqui a=1, b=1+x, c=x.

Passo 3

Análise do domínio e do comportamento próximo de x=0.
  • A expressão simplificada é \displaystyle \frac{1}{x(1+x)}.
  • Essa função não está definida em x=0 (pois haveria divisão por zero) nem em x=-1.
  • Para estudar o limite quando x\to 0 precisamos observar o sinal e a ordem de grandeza de x(1+x) quando x é pequeno (positivo ou negativo).
No ponto x=0 temos \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1. Logo, para x muito próximo de 0 podemos pensar que \frac{1}{1+x} está próximo de 1, e o comportamento dominador é dado por \frac{1}{x}. Isso já nos dá a intuição: como \frac{1}{x} tende para +\infty quando x\to 0^+ e para -\infty quando x\to 0^-, a expressão deverá seguir o mesmo padrão, ajustada pelo fator que tende a 1.

Passo 4

Cálculo rigoroso das limites laterais usando sinal e aproximação:
  • Para x\to 0^+ temos x>0 pequeno e 1+x>0, então x(1+x)>0. O numerador fixo é 1, então \displaystyle \frac{1}{x(1+x)} é positivo e cresce sem limite quando x vai a 0^+. Portanto
\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x(1+x)} = +\infty.
  • Para x\to 0^- temos x<0 pequeno e 1+x>0 (porque x está próximo de 0, não de -1), então x(1+x)<0. Assim a fração é negativa e seu módulo cresce sem limite quando x\to 0^-. Portanto
\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x(1+x)} = -\infty.
Observação didática: em provas, ao ver uma expressão do tipo \dfrac{g(x)}{x} onde g(x)\to L\neq 0 quando x\to 0, você já sabe que o comportamento é o de 1/x multiplicado por L — ou seja, tende a +\infty ou -\infty conforme o sinal de x e de L. Aqui L=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{1+x}=1.

Passo 5

Conclusão final sobre o limite bilateral:
  • Como os limites laterais não coincidem (um dá +\infty e o outro -\infty), o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x(1+x)} não existe como número finito. Podemos dizer que a função diverge: não há limite finito em x=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{3+x-2}}{x}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{\frac{1}{3+x-2}}{x}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{3+x-2}}{x} não existe (diverge)

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