Analise os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x^{5} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{11}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{-}} x^{5}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{11}}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é o produto de x^{5} e \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{11}}\right).
  • O ponto de interesse é x\to 0^{-} (aproximação por valores negativos de x).
  • A expressão envolve \frac{1}{x^{11}}, que não está definida em x=0; ainda assim o limite pode existir.
  • Não há nada mais no enunciado (por exemplo, valores numéricos adicionais ou uma figura).

Passo 2

Vamos lembrar (de forma didática) uma ferramenta muito útil aqui: o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Enunciado prático do teorema:
\text{Se } g(x)\le f(x)\le h(x)\text{ para }x\text{ próximo de }a\text{ (exceto possivelmente em }a),ó
\text{e } \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
\text{então } \lim_{x\to a} f(x)=L.ã
O que isso diz, em palavras simples: se uma função f(x) fica “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite L ao se aproximar de a, então f(x) também tem limite L. É como apertar f entre duas paredes que se fecham em L.

Passo 3

Aplicando uma propriedade básica da função seno: para qualquer argumento t vale
-1 \le \sin(t) \le 1,
ou em módulo,
|\sin(t)| \le 1.
Tomando t=\dfrac{1}{x^{11}} (que é válido para todo x\neq 0), obtemos
\left|\sin\!\left(\frac{1}{x^{11}}\right)\right| \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por |x^{5}| (que é não negativo) resulta
\left|x^{5}\sin\!\left(\frac{1}{x^{11}}\right)\right| \le |x^{5}|.
A partir da desigualdade em valores absolutos podemos deduzir a desigualdade sem módulo:
-|x^{5}|\le x^{5}\sin\!\left(\frac{1}{x^{11}}\right)\le |x^{5}|.
Isso nos dá duas funções que “apertam” a função que queremos estudar: g(x)=-|x^{5}| e h(x)=|x^{5}|.

Passo 4

Agora calculamos os limites das funções que servem de limite inferior e superior quando x\to 0^{-}.
Observe que |x^{5}| = |x|^{5}. Como x\to 0^{-} implica |x|\to 0, segue que
\lim_{x\to 0^{-}} |x^{5}| = 0.
Da mesma forma,
\lim_{x\to 0^{-}} -|x^{5}| = 0.
Portanto as duas funções que aprisionam nossa função vão para o mesmo limite 0 quando x\to 0^{-}.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto (Passo 2), tendo
-|x^{5}|\le x^{5}\sin\!\left(\frac{1}{x^{11}}\right)\le |x^{5}|
e sabendo que os limites das extremas são iguais a 0, concluímos
\lim_{x\to 0^{-}} x^{5}\sin\!\left(\frac{1}{x^{11}}\right)=0.
Intuição final: mesmo que \sin\!\left(\frac{1}{x^{11}}\right) oscile muito quando x se aproxima de 0, o fator x^{5} vai a zero rápido o bastante para “anular” essas oscilações — o produto tende a zero.

Resposta

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