e f:[a, b] R possui derivada integrável, ponha m=a+b2 e prove
f(a)+f(b)=2b-a integrala^b[f(x)+(x-m) f^prime(x)] d x

Passo 1

Temos uma função f:[a,b]to R cuja derivada f' é integrável em [a,b]. Definimos o ponto médio m=tfraca+b2. O objetivo é provar a identidade dada usando integração por partes.

Passo 2

Escrevemos o integral que aparece no enunciado e o separamos em duas parcelas:
integrala^bl[f(x)+(x-m)f'(x)r],dx =integrala^b f(x),dx +integrala^b (x-m),f'(x),dx

Passo 3

Aplicamos integração por partes ao segundo termo, escolhendo
u=x-m e dv=f'(x),dx. Assim
du=dx e v=f(x), e obtemos
integrala^b (x-m)f'(x),dx =l[(x-m)f(x)r]a^b -integrala^b f(x),dx

Passo 4

Calculamos o termo de contorno:
l[(x-m)f(x)r]a^b =(b-m)f(b)-(a-m)f(a) =b-a2,f(b)-l(-b-a2r)f(a) =b-a2l[f(a)+f(b)r]
Substituindo em nossa separação, a soma das integrais vira exatamente tfracb-a2[f(a)+f(b)].

Passo 5

Por fim, multiplicamos ambos os lados por 2/(b-a) e chegamos à identidade desejada:
2b-aintegrala^bl[f(x)+(x-m)f'(x)r]dx =f(a)+f(b)

Resposta

f(a)+f(b)=tfrac2b-aintegrala^bl[f(x)+(x-m)f'(x)r],dx

Exercícios relacionados