Analise se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa e justifique:
Pelo Teorema Fundamental Do Cálculo integral0^3 1(x-2)^2 d x=-32

Passo 1

A questão pede pra gente analisar se a afirmação “Pelo Teorema Fundamental do Cálculo integral0^3 1(x-2)^2,dx = -tfrac32” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é integral imprópria e Teorema Fundamental do Cálculo, e vamos precisar identificar descontinuidade e avaliar limites.

Passo 2

Observando a função f(x)=1(x-2)^2, notamos que ela não está definida em x=2. Isso torna a integral integral0^3 f(x),dx imprópria, pois há uma descontinuidade no intervalo de integração.

Passo 3

Para lidar com a descontinuidade em x=2, quebramos a integral em duas partes e introduzimos limites:
integral0^3 1(x-2)^2,dx = limato 2^- integral0^a 1(x-2)^2,dx + limbto 2^+ integralb^3 1(x-2)^2,dx
Precisamos de uma primitiva de 1(x-2)^2. Como
ddxl(-tfrac1x-2r) = -l(-1r)1(x-2)^2 = 1(x-2)^2,
uma primitiva é
integral 1(x-2)^2,dx = -1x-2 + C
Agora avaliamos cada limite usando a primitiva:
Para a primeira parte, x to 2^-:
limato 2^- l(-tfrac1a-2r) - l(-tfrac10-2r) = limato 2^- l(-tfrac1a-2r) + tfrac12 = -infty + tfrac12 = -infty,
ou seja, diverge.
Para a segunda parte, x to 2^+:
limbto 2^+ l(-tfrac13-2r) - l(-tfrac1b-2r) = -1 - l(-inftyr) = +infty,
ou seja, também diverge.

Passo 4

Como pelo menos uma das partes diverge, a integral imprópria não converge a um valor finito. Portanto, não pode ser -tfrac32. A afirmação é falsa.

Resposta

A sentença é falsa, pois a integral é imprópria e diverge (não converge a valor finito).

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