Resolva a integral
integral0^1 5 x(4+x^2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^15x(4+x^2)^2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, e vamos usar a técnica para simplificar o denominador.

Passo 2

Vamos fazer a substituição t = 4 + x^2. Então dt = 2x,dx, o que implica x,dx = dt2. Assim, o numerador 5x,dx vira 5cdotdt2 = 52,dt.

Passo 3

Precisamos também mudar os limites de integração: quando x = 0, t = 4 + 0^2 = 4; quando x = 1, t = 4 + 1^2 = 5. A integral se transforma em
integralt=4^t=55x(4+x^2)^2,dx = integral4^552,dtt^2 = 52integral4^5t^-2,dt

Passo 4

Agora integramos t^-2. Sabemos que
integral t^-2,dt = integral t^-2,dt = -1t + C
Aplicando de 4 a 5 temos
52g[-1tg]4^5 = 52l(-15 + 14r) = 52cdot120 = 540 = 18

Resposta

tfrac18

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