Se
é o caminho do primeiro quadrante formado pelo eixo
, de
a
, seguido pela reta
, de
a
, e complementado pela porção da reta
que liga o ponto
à origem, então
vale
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre um caminho $ C $ formado por três partes no primeiro quadrante. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Integrais de Linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar cada segmento do caminho $ C $ e calcular a integral em cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar e separar os três segmentos do caminho $ C $:
- Segmento 1: Do ponto $ (0,0) $ até $ (4,0) $ ao longo do eixo $ X $.
- Segmento 2: Do ponto $ (4,0) $ até $ (2,2) $ ao longo da reta $ x + y = 4 $.
- Segmento 3: Do ponto $ (2,2) $ de volta à origem $ (0,0) $ ao longo da reta $ y = x $.
Passo 3
Vamos calcular a integral para cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Segmento 1: $ (0,0) $ a $ (4,0) $ ao longo do eixo $ X $
- Parametrização: Como estamos movendo apenas no eixo $ X $, $ y = 0 $. Podemos parametrizar $ x $ de 0 a 4.
- Derivadas:
- Substituindo na integral:
- Calculando a integral:
Segmento 2: $ (4,0) $ a $ (2,2) $ ao longo da reta $ x + y = 4 $
- Parametrização: Podemos expressar $ y = 4 - x $. Vamos parametrizar $ x $ de 4 a 2.
- Derivadas:
- Substituindo na integral:
- Simplificando a expressão:
- Calculando as integrais:
Segmento 3: $ (2,2) $ a $ (0,0) $ ao longo da reta $ y = x $
- Parametrização: Aqui $ y = x $. Podemos parametrizar $ x $ de 2 a 0.
- Derivadas:
- Substituindo na integral:
- Simplificando a expressão:
- Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos somar os resultados das três integrais:
Resposta
A integral vale
, ou seja, a alternativa b)
.