Se C é o caminho do primeiro quadrante formado pelo eixo X, de x=0 a x=4, seguido pela reta x+y=4, de x=4 a x=2, e complementado pela porção da reta y=x que liga o ponto (2,2) à origem, então
integralc(3 x^2+2 x y) d x+(2 x y+x^2) d y
vale
a) 12 / 5
b) 16 / 3
c) -1 / 2
d) -5 / 4
e) 4 / 5

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre um caminho $ C $ formado por três partes no primeiro quadrante. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Integrais de Linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar cada segmento do caminho $ C $ e calcular a integral em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e separar os três segmentos do caminho $ C $:
  1. Segmento 1: Do ponto $ (0,0) $ até $ (4,0) $ ao longo do eixo $ X $.
  2. Segmento 2: Do ponto $ (4,0) $ até $ (2,2) $ ao longo da reta $ x + y = 4 $.
  3. Segmento 3: Do ponto $ (2,2) $ de volta à origem $ (0,0) $ ao longo da reta $ y = x $.

Passo 3

Vamos calcular a integral para cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Segmento 1: $ (0,0) $ a $ (4,0) $ ao longo do eixo $ X $

  • Parametrização: Como estamos movendo apenas no eixo $ X $, $ y = 0 $. Podemos parametrizar $ x $ de 0 a 4. (0,0)
  • Derivadas: (4,0)
  • Substituindo na integral: X
  • Calculando a integral: X

Segmento 2: $ (4,0) $ a $ (2,2) $ ao longo da reta $ x + y = 4 $

  • Parametrização: Podemos expressar $ y = 4 - x $. Vamos parametrizar $ x $ de 4 a 2. y = 0
  • Derivadas: x
  • Substituindo na integral: x = t, y = 0, t in [0, 4]
  • Simplificando a expressão: dx = dt, dy = 0 integral0^4 (3t^2 + 2t cdot 0) dt + (2t cdot 0 + t^2) cdot 0 = integral0^4 3t^2 dt
  • Calculando as integrais: integral0^4 3t^2 dt = 3 [ t^33 ]0^4 = [ t^3 ]0^4 = 4^3 - 0 = 64 (4,0) (2,2) x + y = 4 y = 4 - x

Segmento 3: $ (2,2) $ a $ (0,0) $ ao longo da reta $ y = x $

  • Parametrização: Aqui $ y = x $. Podemos parametrizar $ x $ de 2 a 0. x
  • Derivadas: x = t, y = 4 - t, t in [4, 2]
  • Substituindo na integral: dx = dt, dy = -dt
  • Simplificando a expressão: integral4^2 (3t^2 + 2t(4 - t)) dt + (2t(4 - t) + t^2)(-dt) integral4^2 (3t^2 + 8t - 2t^2) dt - integral4^2 (8t - 2t^2 + t^2) dt = integral4^2 (t^2 + 8t) dt - integral4^2 (8t - t^2) dt
  • Calculando a integral: [ t^33 + 4t^2 ]4^2 - [ 4t^2 - t^33 ]4^2

Passo 4

Agora, vamos somar os resultados das três integrais:
64 + (-1123) + (-643) = 64 - 1763 = 1923 - 1763 = 163

Resposta

A integral vale 163, ou seja, a alternativa b) 16 / 3.

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