Se
é o segmento de reta com início em
e término
, então
vale
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais de linha. A questão nos dá um segmento de reta que começa no ponto (1,1) e termina em (2,0). Precisamos calcular a integral de uma função vetorial ao longo desse segmento. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a reta para calcular essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela permite calcular o “acúmulo” de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, a função está dada em termos de $ x $ e $ y $, e a curva $ C $ é a reta que vai de (1,1) a (2,0).
Passo 3
Para calcular a integral, precisamos parametrizar a reta $ C $. Isso significa expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro, geralmente $ t $, que varia de 0 a 1. Então, vamos definir:
onde $ t $ varia de 0 a 1.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
Passo 5
Substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ dx/dt $ e $ dy/dt $ na integral original:
Passo 6
Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Primeiro, para o termo com $ dx $:
Primeiro, para o termo com $ dx $:
Expandindo:
Agora, para o termo com $ dy $:
Expandindo:
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente:
Primeira integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 9
Agora, subtraímos a segunda integral da primeira:
Resposta
A integral vale
.