Se C é o segmento de reta com início em (1,1) e término em(2,0), então
integralC(x^2+6 x y-2 y^2) d x+(3 x^2-4 x y+1) d y
vale
a) 10 / 3
b) 2 / 5
c) -8 / 3
d) 1 / 3
e) -11 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais de linha. A questão nos dá um segmento de reta que começa no ponto (1,1) e termina em (2,0). Precisamos calcular a integral de uma função vetorial ao longo desse segmento. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a reta para calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela permite calcular o “acúmulo” de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, a função está dada em termos de $ x $ e $ y $, e a curva $ C $ é a reta que vai de (1,1) a (2,0).

Passo 3

Para calcular a integral, precisamos parametrizar a reta $ C $. Isso significa expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro, geralmente $ t $, que varia de 0 a 1. Então, vamos definir:
C
x
onde $ t $ varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
x(t)
y(t)

Passo 5

Substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ dx/dt $ e $ dy/dt $ na integral original:
x(t)

Passo 6

Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Primeiro, para o termo com $ dx $:
dx
Expandindo:
(1 + t)^2 + 6(1 + t)(1 - t) - 2(1 - t)^2
(1 + 2t + t^2) + 6(1 - t^2) - 2(1 - 2t + t^2)
= 1 + 2t + t^2 + 6 - 6t^2 - 2 + 4t - 2t^2
= (1 + 6 - 2) + (2t + 4t) + (t^2 - 6t^2 - 2t^2)
Agora, para o termo com $ dy $:
= 5 + 6t - 7t^2
Expandindo:
dy
3(1 + t)^2 - 4(1 + t)(1 - t) + 1
3(1 + 2t + t^2) - 4(1 - t^2) + 1
= 3 + 6t + 3t^2 - 4 + 4t^2 + 1

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^1 (5 + 6t - 7t^2) , dt + integral0^1 (0 + 6t + 7t^2) cdot (-1) , dt
= integral0^1 (5 + 6t - 7t^2) , dt - integral0^1 (6t + 7t^2) , dt

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente:
Primeira integral:
integral0^1 (5 + 6t - 7t^2) , dt = [5t + 3t^2 - 73t^3 ]0^1 = 5(1) + 3(1)^2 - 73(1)^3 = 5 + 3 - 73 = 8 - 73 = 173
Segunda integral:
integral0^1 (6t + 7t^2) , dt = [3t^2 + 73t^3 ]0^1 = 3(1)^2 + 73(1)^3 = 3 + 73 = 163

Passo 9

Agora, subtraímos a segunda integral da primeira:
173 - 163 = 13

Resposta

A integral vale boxeddfrac13.

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