Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial \frac{d y}{d x}-3 x^{2} y=\left(3 x^{2}-1\right) e^{x}, é verdade que a EDO tem solução geral dada por y=-e^{r x}+C, para algum r (constante).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}-3 x^{2} y=\left(3 x^{2}-1\right) e^{x}
e pergunta se é verdade que a EDO tem solução geral dada por y=-e^{r x}+C, para algum r (constante). \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{EDO: }\frac{d y}{d x}-3 x^{2} y=(3 x^{2}-1)e^{x}.
\text{Afirmação a verificar: a solução geral é }y=-e^{r x}+C\text{ para algum }r.çãçãé

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem e identificar os coeficientes. \n
A forma padrão é
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x).
Comparando com a equação dada, temos
P(x)=-3x^{2}\quad\text{e}\quad Q(x)=(3x^{2}-1)e^{x}.
Explicação didática: aqui P(x) é a função que multiplica y quando trazemos o termo para o lado esquerdo; Q(x) é o termo do lado direito que depende só de x. O método padrão para resolver é usar um fator integrante.

Passo 3

Definir e calcular o fator integrante \mu(x). \n
O fator integrante é dado por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -3x^{2}\,dx}.
Calcule a integral:
\int -3x^{2}\,dx = -x^{3}.
Portanto
\mu(x)=e^{-x^{3}}.
Explicação didática: multiplicando a EDO por \mu(x) transformamos o lado esquerdo numa derivada exata da forma \frac{d}{dx}\big(y\mu(x)\big). Isso facilita integrar ambos os lados.

Passo 4

Multiplicar a EDO por \mu(x) e reconhecer a derivada exata. \n
Multiplicando ambos os lados por e^{-x^{3}} obtemos
e^{-x^{3}}\frac{dy}{dx}-3x^{2}e^{-x^{3}}y=(3x^{2}-1)e^{x}e^{-x^{3}}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(y e^{-x^{3}}\big)=(3x^{2}-1)e^{x-x^{3}}.
Explicação didática: verificar derivada do produto é útil — se desenvolvêssemos \frac{d}{dx}(y e^{-x^{3}}) usando a regra do produto obteríamos exatamente o lado esquerdo, por isso esse passo funciona.

Passo 5

Integrar ambos os lados e encontrar uma primitiva do lado direito. \n
Precisamos integrar
\int (3x^{2}-1)e^{x-x^{3}}\,dx.
Observação esperta (truque de reconhecimento): note que
\frac{d}{dx}\big(e^{x-x^{3}}\big)=(1-3x^{2})e^{x-x^{3}}=-(3x^{2}-1)e^{x-x^{3}}.
Logo
(3x^{2}-1)e^{x-x^{3}} = -\frac{d}{dx}\big(e^{x-x^{3}}\big).
Assim a integral é
\int (3x^{2}-1)e^{x-x^{3}}\,dx = -e^{x-x^{3}} + C,
onde C é constante de integração. \n
Explicação didática: reconhecer derivadas compostas como múltiplos de uma função facilita muito — aqui identificamos que o integrando é (menos) a derivada imediata de e^{x-x^{3}}.

Passo 6

Voltar para y e isolar a solução geral. \n
A partir de \frac{d}{dx}\big(y e^{-x^{3}}\big)= (3x^{2}-1)e^{x-x^{3}} e da primitiva achada, temos
y e^{-x^{3}} = -e^{x-x^{3}} + C.
Multiplicando por e^{x^{3}} obtemos
y = -e^{x} + C e^{x^{3}}.
Explicação didática: a solução geral de uma EDO linear de primeira ordem é a soma de uma solução particular ( y_{p}) e da solução geral da homogênea ( y_{h}). Aqui identificamos
y_{p}=-e^{x}\quad\text{e}\quad y_{h}=C e^{x^{3}}.

Passo 7

Comparar a solução correta com a forma proposta no enunciado e testar a hipótese. \n
A solução geral correta que obtivemos é
y=-e^{x}+C e^{x^{3}}.
A forma proposta no enunciado é y=-e^{r x}+C (com C constante sem dependência em x). Essas formas são incompatíveis porque:
  • A parte homogênea correta é C e^{x^{3}}, que depende de x multiplicando a constante C. Na proposta, a parte homogênea seria simplesmente C (constante), o que não satisfaz a equação homogênea \frac{dy}{dx}-3x^{2}y=0 em geral.
  • Podemos testar diretamente: suponha y=-e^{r x}+C. Então \frac{dy}{dx}=-r e^{r x}. Substituindo na EDO obtemos
-r e^{r x}-3x^{2}(-e^{r x}+C)=(3x^{2}-1)e^{x}.
Isso gera termos em e^{r x}, em e^{x} e em x^{2}C. Para igualdade para todo x seria preciso uma combinação impossível em geral. O único caso que funciona é r=1 e C=0, que dá a solução particular y=-e^{x}, mas isso não é a solução geral.

Passo 8

Conclusão, motivação e incentivo. \n
Portanto a afirmação é falsa: a solução geral correta é y=-e^{x}+C e^{x^{3}}, e não y=-e^{r x}+C. Isso significa que a família de soluções contém o fator e^{x^{3}} na parte homogênea, não uma constante. Fica o recado: reconhecer o fator integrante e usar o truque da derivada composta ( e^{x-x^{3}}) agiliza muito — você já aprendeu um atalho útil para a prova. Força aí, tá indo bem!

Resposta

Falsa.

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