Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial
, é verdade que a EDO tem solução geral dada por
, para algum
(constante).
Considere a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pergunta se é verdade que a EDO tem solução geral dada por
, para algum
(constante). \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem e identificar os coeficientes. \n
A forma padrão é
A forma padrão é
Comparando com a equação dada, temos
Explicação didática: aqui
é a função que multiplica
quando trazemos o termo para o lado esquerdo;
é o termo do lado direito que depende só de
. O método padrão para resolver é usar um fator integrante.
Passo 3
Definir e calcular o fator integrante
. \n
O fator integrante é dado por
O fator integrante é dado por
Calcule a integral:
Portanto
Explicação didática: multiplicando a EDO por
transformamos o lado esquerdo numa derivada exata da forma
. Isso facilita integrar ambos os lados.
Passo 4
Multiplicar a EDO por
e reconhecer a derivada exata. \n
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Multiplicando ambos os lados por
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Explicação didática: verificar derivada do produto é útil — se desenvolvêssemos
usando a regra do produto obteríamos exatamente o lado esquerdo, por isso esse passo funciona.
Passo 5
Integrar ambos os lados e encontrar uma primitiva do lado direito. \n
Precisamos integrar
Precisamos integrar
Observação esperta (truque de reconhecimento): note que
Logo
Assim a integral é
onde
é constante de integração. \n
Explicação didática: reconhecer derivadas compostas como múltiplos de uma função facilita muito — aqui identificamos que o integrando é (menos) a derivada imediata de .
Explicação didática: reconhecer derivadas compostas como múltiplos de uma função facilita muito — aqui identificamos que o integrando é (menos) a derivada imediata de
Passo 6
Voltar para
e isolar a solução geral. \n
A partir de e da primitiva achada, temos
A partir de
Multiplicando por
obtemos
Explicação didática: a solução geral de uma EDO linear de primeira ordem é a soma de uma solução particular (
) e da solução geral da homogênea (
). Aqui identificamos
Passo 7
Comparar a solução correta com a forma proposta no enunciado e testar a hipótese. \n
A solução geral correta que obtivemos é
A solução geral correta que obtivemos é
A forma proposta no enunciado é
(com
constante sem dependência em
). Essas formas são incompatíveis porque:
- A parte homogênea correta é
, que depende de multiplicando a constante . Na proposta, a parte homogênea seria simplesmente (constante), o que não satisfaz a equação homogênea em geral. - Podemos testar diretamente: suponha
. Então . Substituindo na EDO obtemos
Isso gera termos em
, em
e em
. Para igualdade para todo
seria preciso uma combinação impossível em geral. O único caso que funciona é
e
, que dá a solução particular
, mas isso não é a solução geral.
Passo 8
Conclusão, motivação e incentivo. \n
Portanto a afirmação é falsa: a solução geral correta é , e não
. Isso significa que a família de soluções contém o fator
na parte homogênea, não uma constante. Fica o recado: reconhecer o fator integrante e usar o truque da derivada composta (
) agiliza muito — você já aprendeu um atalho útil para a prova. Força aí, tá indo bem!
Portanto a afirmação é falsa: a solução geral correta é
Resposta
Falsa.