Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial:
\cos (2 x-y) d x-\cos (2 x-y) d y=0
Trata-se de uma equação diferencial exata cuja solução é uma curva do tipo
g(x, y)=\operatorname{sen}(2 x-y)+c

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\cos(2x-y)\,dx-\cos(2x-y)\,dy=0
e afirma que "Trata-se de uma equação diferencial exata cuja solução é uma curva do tipo
g(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y)+c."
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Aqui
M(x,y)=\cos(2x-y),\qquad N(x,y)=-\cos(2x-y).
Regra importante (definição que usaremos): uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata em uma região se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Um teste prático: se M e N têm derivadas parciais contínuas, a condição necessária (e suficiente em regiões simples) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais usando a regra da cadeia. Defina u=2x-y.
Cálculo de \partial M/\partial y:
M(x,y)=\cos(u),\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-1,
portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{d}{dy}\cos(u)=-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=-\sin(u)\cdot(-1)=\sin(u).
Ou seja,
\frac{\partial M}{\partial y}=\sin(2x-y).
Cálculo de \partial N/\partial x:
N(x,y)=-\cos(u),\quad \frac{\partial u}{\partial x}=2,
portanto
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{d}{dx}\big(-\cos(u)\big)=-\big(-\sin(u)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}= \sin(u)\cdot 2=2\sin(u).
Ou seja,
\frac{\partial N}{\partial x}=2\sin(2x-y).

Passo 4

Compare \partial M/\partial y e \partial N/\partial x:
\frac{\partial M}{\partial y}=\sin(2x-y),\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2\sin(2x-y).
Essas derivadas são iguais somente quando \sin(2x-y)=0 (caso especial). Em geral elas são diferentes, portanto a equação não é exata em geral. Logo a afirmação de que “trata-se de uma equação diferencial exata” é falsa (salvo em curvas onde \sin(2x-y)=0, mas isso são casos singulares, não exatidão global).
Para reforçar: se tentássemos achar um potencial \Phi integrando M em x,
\Phi(x,y)=\int \cos(2x-y)\,dx=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x-y)+h(y).
Derivando em y obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=-\tfrac{1}{2}\cos(2x-y)+h'(y),
que deveria ser igual a N(x,y)=-\cos(2x-y). Isso exigiria
-\tfrac{1}{2}\cos(2x-y)+h'(y)=-\cos(2x-y)\quad\Rightarrow\quad h'(y)=-\tfrac{1}{2}\cos(2x-y),
mas o lado direito depende de x, o que é impossível para uma função h'(y) que dependa só de y. Portanto não existe potencial \Phi global — confirmação adicional de que a equação não é exata.

Passo 5

Agora vamos resolver corretamente a equação (para entender por que a solução proposta está errada). Observe que podemos fatorar \cos(2x-y):
\cos(2x-y)\,dx-\cos(2x-y)\,dy=\cos(2x-y)(dx-dy)=0.
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero; isso gera duas possibilidades de curvas solução:
  1. Se \cos(2x-y)\neq 0 num trecho, podemos dividir por \cos(2x-y) e obter
dx-dy=0\quad\Longrightarrow\quad dy=dx\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=1.
Integrando, a família geral de soluções (nas regiões onde \cos(2x-y)\neq0) é
y=x+C,\quad\text{com \(C\) constante.}
  1. Se \cos(2x-y)=0 ao longo de uma curva, então a equação é satisfeita automaticamente independentemente de dx e dy; essas são soluções singulares. Resolver \cos(2x-y)=0
2x-y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
ou seja
y=2x-\frac{\pi}{2}-k\pi,
uma família de retas que também são soluções (chamadas de soluções singulares).
Portanto, o conjunto de soluções consiste em duas famílias distintas: as retas y=x+C e as retas singulares y=2x-\tfrac{\pi}{2}-k\pi.

Passo 6

Compare com a solução proposta g(x,y)=\operatorname{sen}(2x-y)+c, que parece indicar curvas \operatorname{sen}(2x-y)=\text{const}. Se diferenciarmos implicitamente \operatorname{sen}(2x-y)=\text{const} obtemos
\cos(2x-y)(2\,dx-dy)=0,
logo isso leva às condições 2\,dx-dy=0 (isto é, dy/dx=2) ou \cos(2x-y)=0. Mas a nossa equação original, quando válida para divisão por \cos, impôs dy/dx=1, não 2. Portanto as curvas \operatorname{sen}(2x-y)=\text{const} não são soluções da equação dada (exceto na interseção trivial com as soluções singulares \cos(2x-y)=0). Assim a forma proposta \operatorname{sen}(2x-y)+c é incompatível com a equação original.

Passo 7

Resumo intuitivo e incentivo: a afirmação é falsa. A equação não é exata (porque \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x em geral). A maneira correta de resolver é notar a fatoração \cos(2x-y)(dx-dy)=0 e separar casos: y=x+C (família geral nas regiões onde \cos\neq0) e as retas singulares y=2x-\tfrac{\pi}{2}-k\pi. A proposta \operatorname{sen}(2x-y)=\text{const} leva a uma relação diferente ( dy/dx=2) e portanto está errada. Força aí nos estudos — você já entendeu como testar exatidão e como proceder quando a equação pode ser fatorada!

Resposta

Falsa

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