Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial:
Trata-se de uma equação diferencial exata cuja solução é uma curva do tipo
Considere a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e afirma que "Trata-se de uma equação diferencial exata cuja solução é uma curva do tipo
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão
. Aqui
Regra importante (definição que usaremos): uma equação
é exata em uma região se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático: se
e
têm derivadas parciais contínuas, a condição necessária (e suficiente em regiões simples) é
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais usando a regra da cadeia. Defina
.
Cálculo de
:
portanto
Ou seja,
Cálculo de
:
portanto
Ou seja,
Passo 4
Compare
e
:
Essas derivadas são iguais somente quando
(caso especial). Em geral elas são diferentes, portanto a equação não é exata em geral. Logo a afirmação de que “trata-se de uma equação diferencial exata” é falsa (salvo em curvas onde
, mas isso são casos singulares, não exatidão global).
Para reforçar: se tentássemos achar um potencial
integrando
em
,
Derivando em
obtemos
que deveria ser igual a
. Isso exigiria
mas o lado direito depende de
, o que é impossível para uma função
que dependa só de
. Portanto não existe potencial
global — confirmação adicional de que a equação não é exata.
Passo 5
Agora vamos resolver corretamente a equação (para entender por que a solução proposta está errada). Observe que podemos fatorar
:
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero; isso gera duas possibilidades de curvas solução:
- Se
num trecho, podemos dividir por e obter
Integrando, a família geral de soluções (nas regiões onde
) é
- Se
ao longo de uma curva, então a equação é satisfeita automaticamente independentemente de e ; essas são soluções singulares. Resolver dá
ou seja
uma família de retas que também são soluções (chamadas de soluções singulares).
Portanto, o conjunto de soluções consiste em duas famílias distintas: as retas
e as retas singulares
.
Passo 6
Compare com a solução proposta
, que parece indicar curvas
. Se diferenciarmos implicitamente
obtemos
logo isso leva às condições
(isto é,
) ou
. Mas a nossa equação original, quando válida para divisão por
, impôs
, não
. Portanto as curvas
não são soluções da equação dada (exceto na interseção trivial com as soluções singulares
). Assim a forma proposta
é incompatível com a equação original.
Passo 7
Resumo intuitivo e incentivo: a afirmação é falsa. A equação não é exata (porque
em geral). A maneira correta de resolver é notar a fatoração
e separar casos:
(família geral nas regiões onde
) e as retas singulares
. A proposta
leva a uma relação diferente (
) e portanto está errada. Força aí nos estudos — você já entendeu como testar exatidão e como proceder quando a equação pode ser fatorada!
Resposta
Falsa