Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial
, é verdade que a EDO tem solução geral dada por
.
Considere a equação diferencial
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a solução proposta. Especificamente:
- Equação dada:
. - Afirmação a verificar: "a EDO tem solução geral dada por
".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.
Passo 2
Vamos lembrar (de forma didática) o que significa encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Uma equação nessa forma
tem solução geral que é a soma de:
- uma solução geral da equação homogênea associada
, e - uma solução particular de toda a equação não homogênea.
Uma técnica padrão para resolver é o método do fator integrante. Vou explicar passo a passo esse método porque é o caminho mais direto aqui.
Passo 3
Explicando o fator integrante: Definimos o fator integrante
por
Multiplicando a equação original por
transforma o lado esquerdo numa derivada do produto
. Depois basta integrar ambos os lados para encontrar
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: aqui
(constante). Então o fator integrante é
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Logo a equação vira
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
. Então obtemos
Isolando
,
Passo 6
Comentário didático: o que acabamos de obter tem a estrutura esperada:
- A solução geral da homogênea
é (resolver separando variáveis ou reconhecer que leva a ). - Uma solução particular da não-homogênea pode ser encontrada também por palpite (método dos coeficientes indeterminados). Como o termo do lado direito é
, tentamos . Substituindo: Para isso ser igual a precisamos de . Assim . Somando e volta-se a . Isso confirma por outro caminho que a forma encontrada é correta.
Passo 7
Verificação final (substituição direta): podemos derivar a solução proposta
e substituir na equação original para conferir:
-
. - Soma com
:
Isso coincide com o lado direito, logo a solução satisfaz a equação e contém a constante arbitrária, portanto é a solução geral.
Resposta
Verdadeira