Analise as sentenças a seguir, identificando se são verdadeira ou falsa e justificando adequadamente de acordo com o fundamentos de equações diferenciais.
Considere a equação diferencial \frac{d y}{d x}+3 y=e^{-2 x}, é verdade que a EDO tem solução geral dada por y=e^{-2 x}+C e^{-3 x}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a solução proposta. Especificamente:
  • Equação dada: \dfrac{dy}{dx}+3y=e^{-2x}.
  • Afirmação a verificar: "a EDO tem solução geral dada por y=e^{-2x}+C e^{-3x}".
    O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar adequadamente.

Passo 2

Vamos lembrar (de forma didática) o que significa encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Uma equação nessa forma
\dfrac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x)
tem solução geral que é a soma de:
  • uma solução geral da equação homogênea associada \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=0, e
  • uma solução particular de toda a equação não homogênea.
    Uma técnica padrão para resolver é o método do fator integrante. Vou explicar passo a passo esse método porque é o caminho mais direto aqui.

Passo 3

Explicando o fator integrante: Definimos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação original por \mu(x) transforma o lado esquerdo numa derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big). Depois basta integrar ambos os lados para encontrar y.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: aqui p(x)=3 (constante). Então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int 3\,dx\right)=\exp(3x)=e^{3x}.
Multiplicamos a equação original por e^{3x}:
e^{3x}\dfrac{dy}{dx}+3e^{3x}y = e^{3x}e^{-2x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y e^{3x}, pois
\dfrac{d}{dx}\big(y e^{3x}\big)=e^{3x}\dfrac{dy}{dx}+3e^{3x}y.
Logo a equação vira
\dfrac{d}{dx}\big(y e^{3x}\big)=e^{3x}e^{-2x}=e^{x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \dfrac{d}{dx}\big(y e^{3x}\big)\,dx = \int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é y e^{3x}. A integral do lado direito é e^{x}+C. Então obtemos
y e^{3x}=e^{x}+C.
Isolando y,
y=\dfrac{e^{x}+C}{e^{3x}}=e^{x}e^{-3x}+C e^{-3x}=e^{-2x}+C e^{-3x}.

Passo 6

Comentário didático: o que acabamos de obter tem a estrutura esperada:
  • A solução geral da homogênea \dfrac{dy}{dx}+3y=0 é y_h=C e^{-3x} (resolver separando variáveis ou reconhecer que y'=-3y leva a y\propto e^{-3x}).
  • Uma solução particular da não-homogênea pode ser encontrada também por palpite (método dos coeficientes indeterminados). Como o termo do lado direito é e^{-2x}, tentamos y_p=A e^{-2x}. Substituindo: y_p' + 3y_p = -2A e^{-2x}+3A e^{-2x} = A e^{-2x}.Para isso ser igual a e^{-2x} precisamos de A=1. Assim y_p=e^{-2x}. Somando y_h e y_p volta-se a y=e^{-2x}+C e^{-3x}. Isso confirma por outro caminho que a forma encontrada é correta.

Passo 7

Verificação final (substituição direta): podemos derivar a solução proposta y=e^{-2x}+C e^{-3x} e substituir na equação original para conferir:
  • \dfrac{dy}{dx}=-2e^{-2x}-3C e^{-3x}.
  • Soma com 3y: -2e^{-2x}-3C e^{-3x}+3(e^{-2x}+C e^{-3x}) = (-2e^{-2x}+3e^{-2x}) + (-3C e^{-3x}+3C e^{-3x}) = e^{-2x}.
    Isso coincide com o lado direito, logo a solução satisfaz a equação e contém a constante arbitrária C, portanto é a solução geral.

Resposta

Verdadeira

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