A)( 1,5 ponto) Resolva o problema de valor inicial dado por:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y+x^{2} y} ; \operatorname{com} y(0)=4
B)( 0,5 ponto) Determine o valor de y, referente a solução de (A), associado a ponto x=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e pede o valor da solução em x=3.
Dados fornecidos:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y+x^{2}y}
com condição inicial
y(0)=4.
Perguntas:
A) Encontre a solução y(x) do problema de valor inicial.
B) Determine o valor de y associado a x=3.

Passo 2

Vou simplificar a expressão do lado direito antes de resolver. Observando o denominador:
y+x^{2}y = y(1+x^{2}).
Substituindo na equação original, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.

Passo 3

Esta equação é separável — significa que podemos agrupar os termos com y de um lado e os termos com x do outro, para integrar. Multiplico ambos os lados por y\,dx (para trazer y para o lado esquerdo) e por dx (para separar diferenciais):
y\,\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Em seguida escrevo isso como diferenciais separados:
y\,dy=\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Agora integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é simples:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_{1}.
Explico: a fórmula é \int y\,dy = \frac{1}{2}y^{2} porque a regra de potência diz \int t^{n}dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1; aqui n=1.

Passo 5

No lado direito temos a integral
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Faço a substituição padrão para esse tipo de integral: seja u=1+x^{2}. Então du=2x\,dx. Assim a integral vira
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_{2}.
Como u=1+x^{2}>0 para todo x, podemos escrever \ln|u|=\ln(u)=\ln(1+x^{2}).

Passo 6

Igualando as duas integrais (e juntando constantes C_{1} e C_{2} numa constante única C) temos
\frac{y^{2}}{2} = \ln(1+x^{2}) + C.
Multiplico por 2 para simplificar:
y^{2} = 2\ln(1+x^{2}) + C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária.

Passo 7

Agora uso a condição inicial y(0)=4 para determinar a constante C'. Substituo x=0 e y=4 em
y^{2} = 2\ln(1+x^{2}) + C'.
Isto dá
4^{2} = 2\ln(1+0^{2}) + C' \quad\Rightarrow\quad 16 = 2\ln(1) + C'.
Como \ln(1)=0, obtemos C'=16.
Portanto a expressão geral com a constante encontrada é
y^{2} = 2\ln(1+x^{2}) + 16.

Passo 8

Para obter y(x) isolamos y tomando raiz quadrada:
y(x)=\pm\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+16\,}.
Agora escolhemos o sinal usando a condição inicial: em x=0 queremos y(0)=4>0, então devemos tomar o sinal positivo. Assim
y(x)=\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+16\,}.
Observação sobre domínio: como 1+x^{2}\ge 1 temos \ln(1+x^{2})\ge 0, logo o radicando é sempre \ge 16>0; assim a solução está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 9

Para responder a parte B, substituo x=3 na expressão da solução:
y(3)=\sqrt{\,2\ln(1+3^{2})+16\,}=\sqrt{\,2\ln(10)+16\,}.
Se quiser um valor numérico aproximado, uso \ln(10)\approx 2{,}302585093. Então
2\ln(10)+16 \approx 2\cdot 2{,}302585093 + 16 \approx 20{,}605170186,
e
y(3)\approx \sqrt{20{,}605170186}\approx 4{,}539.

Resposta

A) y(x)=\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+16\,}
B) y(3)=\sqrt{\,2\ln(10)+16\,}\approx 4{,}539

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