A)( 1,5 ponto) Resolva o problema de valor inicial dado por:
B)( 0,5 ponto) Determine o valor de
, referente a solução de (A), associado a ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial e pede o valor da solução em
.
Dados fornecidos:
com condição inicial
Perguntas:
A) Encontre a solução do problema de valor inicial.
B) Determine o valor de associado a
.
A) Encontre a solução
B) Determine o valor de
Passo 2
Vou simplificar a expressão do lado direito antes de resolver. Observando o denominador:
Substituindo na equação original, obtemos
Passo 3
Esta equação é separável — significa que podemos agrupar os termos com
de um lado e os termos com
do outro, para integrar. Multiplico ambos os lados por
(para trazer
para o lado esquerdo) e por
(para separar diferenciais):
Em seguida escrevo isso como diferenciais separados:
Passo 4
Agora integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é simples:
Explico: a fórmula é
porque a regra de potência diz
para
; aqui
.
Passo 5
No lado direito temos a integral
Faço a substituição padrão para esse tipo de integral: seja
. Então
. Assim a integral vira
Como
para todo
, podemos escrever
.
Passo 6
Igualando as duas integrais (e juntando constantes
e
numa constante única
) temos
Multiplico por
para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária.
Passo 7
Agora uso a condição inicial
para determinar a constante
. Substituo
e
em
Isto dá
Como
, obtemos
.
Portanto a expressão geral com a constante encontrada é
Passo 8
Para obter
isolamos
tomando raiz quadrada:
Agora escolhemos o sinal usando a condição inicial: em
queremos
, então devemos tomar o sinal positivo. Assim
Observação sobre domínio: como
temos
, logo o radicando é sempre
; assim a solução está bem definida para todo
.
Passo 9
Para responder a parte B, substituo
na expressão da solução:
Se quiser um valor numérico aproximado, uso
. Então
e
Resposta
A)
B)
B)