Analise as sequências abaixo, e classifique-as como convergente ou divergente.
an=n^2(2 n+1) cos (n pi2)

Passo 1

Beleza, vamos analisar a sequência $ a_{n} = \frac{n^{2}}{2n + 1} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) $. O objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge para algum número específico ou se ela diverge, ou seja, não se aproxima de nenhum valor fixo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e o comportamento da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na parte fracionária da sequência: $ \frac{n^{2}}{2n + 1} $. Conforme $ n $ cresce, o termo $ n^{2} $ cresce muito mais rápido que $ 2n + 1 $. Então, essa fração tende a crescer sem limites. Matemáticamente, podemos dizer que:
n^22n + 1
Isso significa que a parcela $ \frac{n^{2}}{2n + 1} $ está indo para o infinito conforme $ n $ aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo do cosseno: $ \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) $. O cosseno de múltiplos de $ \frac{\pi}{2} $ oscila entre 0, 1, 0, -1, e assim por diante conforme $ n $ aumenta. Ou seja:
cos(npi2) éíé
Isso significa que, para valores pares de $ n $, o cosseno alterna entre 1 e -1, enquanto para valores ímpares de $ n $, o cosseno é 0.

Passo 4

Juntando as duas partes, nossa sequência fica assim:
  • Para $ n $ ímpar: $ a_{n} = \frac{n^{2}}{2n + 1} \times 0 = 0 $
  • Para $ n $ par: $ a_{n} = \frac{n^{2}}{2n + 1} \times (-1)^{k} $, que, como vimos, tende a $ \infty $ ou $ -\infty $ dependendo de $ k $
Então, a sequência alterna entre 0 e valores que crescem sem limite (positivos ou negativos).

Resposta

A sequência é divergente.

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