Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
g(x)=pi cdot sec ^7(3 x^2-4 x+5x+1)

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a derivada da função composta g(x)=picdotsec^7l(3x^2-4x+5x+1r). O conteúdo envolve a regra da cadeia, a derivada da função secante e a regra do quociente.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos g'(x)=picdotddx[sec^7(u(x))]. Como ddusec^7(u)=7sec^6(u)cdot(sec(u)tan(u)), obtemos
g'(x)=picdot7sec^6(u)sec(u)tan(u)cdot u'(x)=7pi,sec^7(u)tan(u),u'(x),
onde u(x)=3x^2-4x+5x+1.

Passo 3

Agora vamos encontrar u'(x) usando a regra do quociente. Definindo p(x)=3x^2-4x+5 e q(x)=x+1, temos p'=6x-4 e q'=1. Então
u'(x)=p'(x)q(x)-p(x)q'(x)[q(x)]^2=(6x-4)(x+1)-(3x^2-4x+5)(x+1)^2=3x^2+6x-9(x+1)^2
Fatorando: 3x^2+6x-9=3(x-1)(x+3), logo
u'(x)=3(x-1)(x+3)(x+1)^2

Passo 4

Substituindo u'(x) em g' e organizando, chegamos à forma final da derivada.

Resposta

g'(x)=21pi,(x-1)(x+3),sec^7!l(3x^2-4x+5x+1r),tan!l(3x^2-4x+5x+1r)(x+1)^2

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