Obtenha a fórmula
e determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a fórmula do somatório $ S_{N} $ e descobrir se a série infinita $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}} $ é convergente ou divergente. Para isso, vamos trabalhar com séries e entender um pouquinho sobre como testar a convergência delas. Precisaremos saber sobre séries infinitas e alguns testes de convergência, como o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula do somatório parcial $ S_{N} $. Isso significa somar os termos da série até o termo $ N $. Então, temos:
Passo 3
Agora, para analisar se a série infinita converge ou diverge, vamos simplificar o termo geral $ \frac{3}{\sqrt{n^{3} + n}} $. Observe que para valores grandes de $ n $, o termo $ n^{3} $ domina sobre $ n $, então podemos aproximar:
Passo 4
Sabemos que a série $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{p}} $ converge se $ p > 1 $ e diverge se $ p \leq 1 $. No nosso caso, $ p = \frac{3}{2} $, que é maior que 1. Isso já sugere que a nossa série pode convergir.
Passo 5
Para confirmar, vamos usar o Teste da Comparação. Comparando com a série $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{n^{3/2}} $, que sabemos que converge porque $ p = \frac{3}{2} > 1 $.
Como:
E a série comparada converge, então, pela comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série infinita $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}} $ é convergente.