Calcule a soma da série telescópica:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}
Dica: faça decomposição em frações parciais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}.
Informações dadas:
  • A série é a soma dos termos \dfrac{1}{n(n+2)} para n=1,2,3,\dots.
  • Há uma dica explícita: “faça decomposição em frações parciais”.
    O objetivo final é encontrar o valor numérico dessa soma, se ela convergir.

Passo 2

Ideia básica (explicada passo a passo): decompor cada termo em frações parciais para que a soma se torne telescópica (isto é, muitos termos se cancelem). Proponho escrever, para cada n,
\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2},
onde A e B são constantes (não dependem de n). Agora vamos achar A e B resolvendo essa igualdade.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por n(n+2)\) obtemos a identidade polinomial \[1 = A(n+2)+Bn.
Desenvolvendo o lado direito:
1 = (A+B)n + 2A.
Como essa igualdade vale para todo n, os coeficientes das potências de n devem ser iguais. Igualando coeficientes temos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 2A=1. \end{cases}
Da segunda equação vem A=\dfrac{1}{2}\]. Substituindo na primeira dá \(B=-\dfrac{1}{2}.]

Passo 4

Com A e B encontrados, a decomposição é
\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).
Agora formamos a soma parcial S_N (soma dos primeiros N termos) e substituímos:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).

Passo 5

Mostrando o efeito telescópico ao escrever os primeiros termos explícitos:
\begin{aligned} \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) &=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\\\ &\quad+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) +\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+2}\right). \end{aligned}
Agora observe as cancelamentos: -\dfrac{1}{3} cancela com +\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{4} cancela com +\dfrac{1}{4}, e assim por diante. O que sobra após o cancelamento de todos os termos internos é
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}.
Portanto
S_N=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Note que
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}=0,\qquad \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+2}=0.
Então a soma infinita converge e seu valor é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} =\lim_{N\to\infty}S_N =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right).

Passo 7

Fazendo as contas finais:
1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, \qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}.
Portanto a soma da série é \dfrac{3}{4}. Mandou bem chegar até aqui — telescópicas assim são um truque muito útil em prova!

Resposta

\dfrac{3}{4}

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