Calcule a soma da série telescópica:
Dica: faça decomposição em frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Informações dadas:
- A série é a soma dos termos
para . - Há uma dica explícita: “faça decomposição em frações parciais”.
O objetivo final é encontrar o valor numérico dessa soma, se ela convergir.
Passo 2
Ideia básica (explicada passo a passo): decompor cada termo em frações parciais para que a soma se torne telescópica (isto é, muitos termos se cancelem). Proponho escrever, para cada
,
onde
e
são constantes (não dependem de
). Agora vamos achar
e
resolvendo essa igualdade.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
Desenvolvendo o lado direito:
Como essa igualdade vale para todo
, os coeficientes das potências de
devem ser iguais. Igualando coeficientes temos o sistema
Da segunda equação vem
.]
Passo 4
Com
e
encontrados, a decomposição é
Agora formamos a soma parcial
(soma dos primeiros
termos) e substituímos:
Passo 5
Mostrando o efeito telescópico ao escrever os primeiros termos explícitos:
Agora observe as cancelamentos:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. O que sobra após o cancelamento de todos os termos internos é
Portanto
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Note que
Então a soma infinita converge e seu valor é
Passo 7
Fazendo as contas finais:
Portanto a soma da série é
. Mandou bem chegar até aqui — telescópicas assim são um truque muito útil em prova!