Calcule a soma da série:
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita
Informações dadas:
- A soma é sobre
de até . - Cada termo é a soma de duas potências:
e .
O que se quer: calcular o valor numérico (se convergir) dessa soma infinita.
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade de somas (válida quando as somas convergem): a soma da soma é a soma das somas. Assim podemos escrever
Isto transforma o problema em calcular duas séries simples separadas.
Passo 3
Explicação didática sobre séries geométricas. Uma série geométrica infinita tem a forma
onde
é a constante de razão. Para entender a soma, primeiro considere a soma parcial (até
):
Há uma fórmula conhecida (pode demonstrar multiplicando por
e subtrair):
Se
, então
quando
, e portanto a soma infinita converge para
Se
, a série não converge. Aqui
é a razão da progressão geométrica (neste problema
ou
).
Passo 4
Verificação de convergência das duas séries:
- Para
temos , logo a série converge. - Para
temos , logo a série converge.
Portanto ambas convergem e a separação feita no Passo 2 é válida.
Passo 5
Aplicando a fórmula da série geométrica a cada soma:
- Para
com ,
- Para
com ,
Passo 6
Somando os dois resultados:
Em decimal isso é
.
Passo 7
Interpretação final rápida: a série é a soma de duas geométricas convergentes; usamos a fórmula
para
e somamos os resultados. Relaxa — esse tipo de série aparece sempre, é só lembrar da fórmula e checar
.