Calcule a soma da série:
\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\right]

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\right].
Informações dadas:
  • A soma é sobre n de 0 até \infty.
  • Cada termo é a soma de duas potências: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} e \left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}.
    O que se quer: calcular o valor numérico (se convergir) dessa soma infinita.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade de somas (válida quando as somas convergem): a soma da soma é a soma das somas. Assim podemos escrever
\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\right] = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} + \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Isto transforma o problema em calcular duas séries simples separadas.

Passo 3

Explicação didática sobre séries geométricas. Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
onde r é a constante de razão. Para entender a soma, primeiro considere a soma parcial (até N):
\sum_{n=0}^{N} r^{n} = 1 + r + r^{2} + \cdots + r^{N}.
Há uma fórmula conhecida (pode demonstrar multiplicando por r e subtrair):
\sum_{n=0}^{N} r^{n} = \frac{1-r^{N+1}}{1-r},\qquad \text{para } r\neq 1.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e portanto a soma infinita converge para
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r},\qquad \text{se }|r|<1.
Se |r|\ge 1, a série não converge. Aqui r é a razão da progressão geométrica (neste problema r=\tfrac{1}{2} ou r=\tfrac{1}{5}).

Passo 4

Verificação de convergência das duas séries:
  • Para r=\tfrac{1}{2} temos |r|=\tfrac{1}{2}<1, logo a série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} converge.
  • Para r=\tfrac{1}{5} temos |r|=\tfrac{1}{5}<1, logo a série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n} converge.
    Portanto ambas convergem e a separação feita no Passo 2 é válida.

Passo 5

Aplicando a fórmula da série geométrica a cada soma:
  • Para \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} com r=\tfrac{1}{2},
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\tfrac{1}{2}} = 2.
  • Para \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n} com r=\tfrac{1}{5},
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n} = \frac{1}{1-\tfrac{1}{5}} = \frac{1}{\tfrac{4}{5}} = \frac{5}{4}.

Passo 6

Somando os dois resultados:
2 + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}.
Em decimal isso é \,3,25.

Passo 7

Interpretação final rápida: a série é a soma de duas geométricas convergentes; usamos a fórmula \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\dfrac{1}{1-r} para |r|<1 e somamos os resultados. Relaxa — esse tipo de série aparece sempre, é só lembrar da fórmula e checar |r|<1.

Resposta

\dfrac{13}{4}

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