Analise a série
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right) $. Isso está entrando na matéria de séries infinitas e vamos precisar usar propriedades dos logaritmos para resolver. Basicamente, vamos ver se essa soma chega a algum valor específico ou se ela simplesmente cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada termo da série usando uma propriedade dos logaritmos. Sabemos que:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, observamos que essa série é do tipo telescópica. Isso significa que muitos termos vão se cancelar quando a gente somar a série. Vamos ver isso na prática:
Passo 4
A soma parcial da série até o termo $ N $ é $ \ln(N+1) - \ln(1) $. Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então a soma parcial simplifica para:
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ N $ tende ao infinito:
Isso significa que a soma está crescendo sem limite à medida que $ N $ aumenta.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) $ diverge, ou seja, não converge para um valor finito.