Analise a série sumn=1^infty ln (n+1n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right) $. Isso está entrando na matéria de séries infinitas e vamos precisar usar propriedades dos logaritmos para resolver. Basicamente, vamos ver se essa soma chega a algum valor específico ou se ela simplesmente cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da série usando uma propriedade dos logaritmos. Sabemos que:
ln(n+1n) = ln(n+1) - ln(n)
Então, a série fica:
sumn=1^infty [ ln(n+1) - ln(n) ]

Passo 3

Agora, observamos que essa série é do tipo telescópica. Isso significa que muitos termos vão se cancelar quando a gente somar a série. Vamos ver isso na prática:
&[ ln(2) - ln(1) ] + [ ln(3) - ln(2) ] + [ ln(4) - ln(3) ] + cdots + [ ln(N+1) - ln(N) ] &= ln(N+1) - ln(1)

Passo 4

A soma parcial da série até o termo $ N $ é $ \ln(N+1) - \ln(1) $. Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então a soma parcial simplifica para:
N
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ N $ tende ao infinito:
ln(N+1) - ln(1)
Isso significa que a soma está crescendo sem limite à medida que $ N $ aumenta.

Resposta

A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) $ diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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