Encontre a fórmula para o n-ésimo termo das sequências abaixo:
1,4,9,16,25, ldots

Passo 1

Estamos com a sequência 1, 4, 9, 16, 25, … e queremos descobrir uma fórmula que, para cada n natural, nos dê o termo correspondente. O conteúdo aqui é reconhecimento de padrão em sequências e uso de polinômios (grau 2) para ajustar termos.

Passo 2

Vamos calcular as diferenças entre termos consecutivos para ver o padrão:
As diferenças são 4–1=3, 9–4=5, 16–9=7, 25–16=9, … que formam a sequência 3, 5, 7, 9, …. As segundas diferenças entre esses termos são todas iguais a 2, o que indica que o termo geral é um polinômio de segundo grau.

Passo 3

Assumimos então que o n-ésimo termo tem a forma
an = an^2 + bn + c
e usamos os três primeiros valores (n=1,2,3) para montar um sistema:
a + b + c = 1 4a + 2b + c = 4 9a + 3b + c = 9

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira, obtemos:
3a + b = 3
e 5a + b = 5.
Subtraindo essas duas, 2a = 2 ⇒ a = 1. Substituindo em 3a + b = 3 dá b = 0. Finalmente, em a + b + c = 1 temos c = 0.

Passo 5

Logo, o termo geral da sequência é

Resposta

an = n^2

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