Para quais valores de a>0 a série sumn=1^infty a^n n!n^n converge?

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty a^n n!n^n. O conteúdo é o teste da razão, que usa o limite de un+1/un para decidir convergência.

Passo 2

Calculemos o quociente de termos:
un+1un = a^n+1(n+1)!/(n+1)^n+1a^n n!/n^n = al(nn+1r)^n
Como limntoinfty(n/(n+1))^n = e^-1, o limite do quociente é a e^-1.

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se lim (un+1/un)<1, ou seja a/e<1 que dá a. Se a>e, diverge.

Passo 4

No caso a=e, temos un = e^n n!/n^n. Usando Stirling n!simraiz2pi n(n/e)^n vem
un sim e^nraiz2pi n(n/e)^nn^n = raiz2pi n,
que não tende a zero, logo a série também diverge em a=e.

Resposta

A série converge se, e somente se, 0.

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