Determine o limite (se existir) das sequências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da sequência $ \frac{1}{2^{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito. Isso faz parte do estudo de sequências e limites, então vamos usar alguns conceitos básicos de cálculo para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma sequência. O limite, nesse caso, é o valor para o qual os termos da sequência se aproximam conforme $ n $ aumenta indefinidamente. Ou seja, queremos saber qual valor $ \frac{1}{2^{n}} $ está se aproximando quando $ n $ fica cada vez maior.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão $ \frac{1}{2^{n}} $. Aqui, $ 2^{n} $ representa 2 elevado à potência de $ n $, o que significa que, à medida que $ n $ aumenta, $ 2^{n} $ cresce muito rápido. Por exemplo:
- Quando $ n = 1 $, $ 2^{1} = 2 $ e $ \frac{1}{2} = 0,5 $
- Quando $ n = 2 $, $ 2^{2} = 4 $ e $ \frac{1}{4} = 0,25 $
- Quando $ n = 3 $, $ 2^{3} = 8 $ e $ \frac{1}{8} = 0,125 $
Vemos que, conforme $ n $ aumenta, $ \frac{1}{2^{n}} $ fica cada vez menor.
Passo 4
Como $ 2^{n} $ cresce sem parar, $ \frac{1}{2^{n}} $ vai diminuindo cada vez mais, se aproximando de zero. Matematicamente, dizemos que:
Ou seja, o limite dessa sequência é zero.
Resposta
O limite da sequência $ \frac{1}{2^{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito é 0.