Determine o limite (se existir) das sequências abaixo:
12^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da sequência $ \frac{1}{2^{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito. Isso faz parte do estudo de sequências e limites, então vamos usar alguns conceitos básicos de cálculo para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma sequência. O limite, nesse caso, é o valor para o qual os termos da sequência se aproximam conforme $ n $ aumenta indefinidamente. Ou seja, queremos saber qual valor $ \frac{1}{2^{n}} $ está se aproximando quando $ n $ fica cada vez maior.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão $ \frac{1}{2^{n}} $. Aqui, $ 2^{n} $ representa 2 elevado à potência de $ n $, o que significa que, à medida que $ n $ aumenta, $ 2^{n} $ cresce muito rápido. Por exemplo:
  • Quando $ n = 1 $, $ 2^{1} = 2 $ e $ \frac{1}{2} = 0,5 $
  • Quando $ n = 2 $, $ 2^{2} = 4 $ e $ \frac{1}{4} = 0,25 $
  • Quando $ n = 3 $, $ 2^{3} = 8 $ e $ \frac{1}{8} = 0,125 $
Vemos que, conforme $ n $ aumenta, $ \frac{1}{2^{n}} $ fica cada vez menor.

Passo 4

Como $ 2^{n} $ cresce sem parar, $ \frac{1}{2^{n}} $ vai diminuindo cada vez mais, se aproximando de zero. Matematicamente, dizemos que:
2^n
Ou seja, o limite dessa sequência é zero.

Resposta

O limite da sequência $ \frac{1}{2^{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito é 0.

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