Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(n^{1 / n}-1\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(n^{1/n}-1\bigr)^{n}.
Como todos os termos são não negativos, vamos usar o teste da raiz (Cauchy): se
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}
com a_n=(n^{1/n}-1)^{n} satisfaz L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 2

Calculemos a n-ésima raiz de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = n^{1/n}-1.
Para avaliar o limite, note que
n^{1/n} = \exp\!\bigl(\tfrac{\ln n}{n}\bigr) \longrightarrow \exp(0)=1 \quad\text{quando }n\to\infty.
Logo,
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty}\bigl(n^{1/n}-1\bigr) = 1 - 1 = 0.

Passo 3

O valor
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = 0
é estritamente menor que 1. Pelo teste da raiz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(n^{1/n}-1\bigr)^{n}
converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

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