Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\left(\frac{2 n-1}{n+13}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\Bigl(\frac{2n-1}{n+13}\Bigr)^{n}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. Como o termo geral envolve uma potência em n, o caminho mais direto é usar o teste da raiz.

Passo 2

Seja
a_n = \sqrt{n}\Bigl(\tfrac{2n-1}{n+13}\Bigr)^{n}.
Calculamos a raiz enésima do termo geral:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\sqrt{n}}\;\cdot\;\frac{2n-1}{n+13} = n^{\tfrac{1}{2n}}\;\cdot\;\frac{2n-1}{n+13}.
Sabemos que \lim_{n\to\infty}n^{1/(2n)}=1
e \lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{n+13}=2.
Portanto,
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = 1 \times 2 = 2.

Passo 3

O teste da raiz diz que, se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n},
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1. Aqui obtivemos L=2>1, logo a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz, pois o limite da raiz enésima do termo geral é 2>1.

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