- Análise de Singularidades: Seja
.
(a) Verifique se a curva é diferenciável em
.
(b) A curva possui uma cúspide ou um ponto de inflexão na origem? Justifique com base na ordem de derivação.
(a) Verifique se a curva é diferenciável em
(b) A curva possui uma cúspide ou um ponto de inflexão na origem? Justifique com base na ordem de derivação.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede duas coisas:
- (a) Verificar se a curva é diferenciável em
. - (b) Determinar se a curva tem uma cúspide ou um ponto de inflexão na origem, justificando com base na ordem da primeira derivada não nula.
Informações relevantes fornecidas:
- A parametrização explícita dos componentes:
e . - O ponto de interesse é
, correspondendo à origem .
Passo 2
Definição prática que vamos usar: uma curva parametrizada
é diferenciável em
se as derivadas componentes
e
existem finitas; isto equivale a existir o vetor derivada
(o vetor velocidade) em
.
Calculemos as derivadas das componentes:
Portanto a derivada vetorial é
Avaliar em
dá
Como
existe e é um vetor finito, a curva é diferenciável em
. Observação importante (útil para a prova): diferenciável não implica que o ponto seja regular. Um ponto é regular se
; aqui
, logo o ponto é uma singularidade (não-regular).
Passo 3
Para classificar a singularidade (cúspide ou ponto de inflexão) usamos a ordem da primeira derivada não nula em
. Assim, calculamos derivadas superiores até obter a primeira que não seja nula em
.
Já temos
Agora a segunda derivada:
Terceira derivada:
Aqui
. Logo a primeira derivada não nula em
é a de ordem
.
Passo 4
Critério (que costuma ser pedido em provas e vale memorizar): se
e
, então
- se
é par, o ponto é uma cúspide (as duas “bandas” da curva aproximam a tangente pela mesma direção, produzindo um bico); - se
é ímpar, o ponto é (um tipo de) ponto de inflexão singular: a direcção da derivada líder fornece a reta tangente, e a curva passa por essa reta de maneira que o comportamento dos lados do parâmetro é oposto (a forma típica de flexo singular).
Intuição simples: escrevendo a expansão principal
para pequenos
, se
é par então
tem o mesmo sinal para
e
(ambos não mudam de sinal) e as duas “ramificações” vêm pelo mesmo lado da reta tangente → cúspide; se
é ímpar então
troca de sinal quando
troca de sinal → comportamento com sinais opostos e classificação como ponto de inflexão singular.
Passo 5
Aplicando o critério ao nosso caso: a primeira derivada não nula em
é de ordem
, que é ímpar, e
define a direção do que chamamos de reta tangente (neste caso o eixo
). Pelo critério, como
é ímpar, a singularidade na origem é um ponto de inflexão (singular), e não uma cúspide.
Um exemplo para fixar a ideia:
- Exemplo cúspide clássico:
. Aqui a primeira derivada não nula é de ordem (par) → cúspide. - Exemplo inflexão regular:
. Aqui e o ponto é regular com inflexão (curvatura muda sinal).
Resposta
(a) A curva é diferenciável em
;
(ponto singular, não regular).
(b) A singularidade na origem é um ponto de inflexão (a primeira derivada não nula é de ordem , ímpar, com
).
(b) A singularidade na origem é um ponto de inflexão (a primeira derivada não nula é de ordem