1. Análise de Singularidades: Seja \alpha(t)=\left(t^{3}, t^{4}\right).
    (a) Verifique se a curva é diferenciável em t=0.
    (b) A curva possui uma cúspide ou um ponto de inflexão na origem? Justifique com base na ordem de derivação.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \alpha(t)=\left(t^{3},t^{4}\right) e pede duas coisas:
  • (a) Verificar se a curva é diferenciável em t=0.
  • (b) Determinar se a curva tem uma cúspide ou um ponto de inflexão na origem, justificando com base na ordem da primeira derivada não nula.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização explícita dos componentes: x(t)=t^{3} e y(t)=t^{4}.
  • O ponto de interesse é t=0, correspondendo à origem (0,0).

Passo 2

Definição prática que vamos usar: uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)) é diferenciável em t=0 se as derivadas componentes x'(0) e y'(0) existem finitas; isto equivale a existir o vetor derivada \alpha'(0) (o vetor velocidade) em \mathbb{R}^{2}.
Calculemos as derivadas das componentes:
x(t)=t^{3}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=3t^{2},
y(t)=t^{4}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=4t^{3}.
Portanto a derivada vetorial é
\alpha'(t)=\bigl(3t^{2},\,4t^{3}\bigr).
Avaliar em t=0
\alpha'(0)=\bigl(3\cdot 0^{2},\,4\cdot 0^{3}\bigr)=(0,0).
Como \alpha'(0) existe e é um vetor finito, a curva é diferenciável em t=0. Observação importante (útil para a prova): diferenciável não implica que o ponto seja regular. Um ponto é regular se \alpha'(0)\neq(0,0); aqui \alpha'(0)=(0,0), logo o ponto é uma singularidade (não-regular).

Passo 3

Para classificar a singularidade (cúspide ou ponto de inflexão) usamos a ordem da primeira derivada não nula em t=0. Assim, calculamos derivadas superiores até obter a primeira que não seja nula em t=0.
Já temos
\alpha'(t)=\bigl(3t^{2},\,4t^{3}\bigr),\qquad \alpha'(0)=(0,0).
Agora a segunda derivada:
\alpha''(t)=\bigl(6t,\,12t^{2}\bigr),\qquad \alpha''(0)=(0,0).
Terceira derivada:
\alpha^{(3)}(t)=\bigl(6,\,24t\bigr),\qquad \alpha^{(3)}(0)=(6,0).
Aqui \alpha^{(3)}(0)\neq(0,0). Logo a primeira derivada não nula em t=0 é a de ordem k=3.

Passo 4

Critério (que costuma ser pedido em provas e vale memorizar): se \alpha'(0)=\alpha''(0)=\cdots=\alpha^{(k-1)}(0)=0 e \alpha^{(k)}(0)\neq0, então
  • se k é par, o ponto é uma cúspide (as duas “bandas” da curva aproximam a tangente pela mesma direção, produzindo um bico);
  • se k é ímpar, o ponto é (um tipo de) ponto de inflexão singular: a direcção da derivada líder \alpha^{(k)}(0) fornece a reta tangente, e a curva passa por essa reta de maneira que o comportamento dos lados do parâmetro é oposto (a forma típica de flexo singular).
Intuição simples: escrevendo a expansão principal \alpha(t)\approx \dfrac{\alpha^{(k)}(0)}{k!}t^{k} para pequenos t, se k é par então t^{k} tem o mesmo sinal para t e -t (ambos não mudam de sinal) e as duas “ramificações” vêm pelo mesmo lado da reta tangente → cúspide; se k é ímpar então t^{k} troca de sinal quando t troca de sinal → comportamento com sinais opostos e classificação como ponto de inflexão singular.

Passo 5

Aplicando o critério ao nosso caso: a primeira derivada não nula em t=0 é de ordem k=3, que é ímpar, e \alpha^{(3)}(0)=(6,0) define a direção do que chamamos de reta tangente (neste caso o eixo x). Pelo critério, como k é ímpar, a singularidade na origem é um ponto de inflexão (singular), e não uma cúspide.
Um exemplo para fixar a ideia:
  • Exemplo cúspide clássico: \beta(t)=(t^{2},t^{3}). Aqui a primeira derivada não nula é de ordem 2 (par) → cúspide.
  • Exemplo inflexão regular: \gamma(t)=(t,t^{3}). Aqui \gamma'(0)\neq0 e o ponto é regular com inflexão (curvatura muda sinal).

Resposta

(a) A curva é diferenciável em t=0; \alpha'(0)=(0,0) (ponto singular, não regular).
(b) A singularidade na origem é um ponto de inflexão (a primeira derivada não nula é de ordem 3, ímpar, com \alpha^{(3)}(0)=(6,0)).

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