A análise de sólidos com simetrias específicas, como cilindros e esferas, torna-se muito mais eficiente quando substituímos o sistema cartesiano por coordenadas cilíndricas ou esféricas. Para ambos os sistemas, apresente as expressões de transformação das variáveis e os respectivos fatores de correção que surgem na mudança do elemento de volume d V, descrevendo como fica a integral tripla para ambos os casos.
Passo 1
O enunciado pede, para os dois sistemas (cilíndricas e esféricas):
as expressões de transformação das variáveis (como obter x,y,z a partir das novas coordenadas);
o fator de correção (Jacobian) que aparece na mudança do elemento de volume dV;
a forma geral da integral tripla em cada sistema.
Informações relevantes (o que devo fornecer):
as fórmulas de transformação x,y,z em termos das coordenadas desses sistemas;
a dedução ou justificativa do fator de correção (por que surge r em cilíndricas e \rho^2\sin\varphi em esféricas);
a escrita da integral tripla correspondente, com indicação dos domínios típicos das novas variáveis e um exemplo simples para fixar a ideia.
Passo 2
Cilíndricas — definição das variáveis e transformação.
As coordenadas cilíndricas são \,(r,\theta,z)\, onde:
r é a distância radial ao eixo z (ou seja, a projeção de (x,y) no plano xy);
\theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x;
z é a mesma coordenada z cartesiana.
A transformação para coordenadas cartesianas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Intervalos usuais: r\ge 0,\; \theta\in[0,2\pi),\; z\in\mathbb{R} (limites podem ser restritos pelo domínio V).
Passo 3
Cilíndricas — dedução do fator de correção dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Método via Jacobiano (derivadas parciais): montar a matriz das derivadas parciais \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}:
Como o elemento de volume transforma por |\det J|\,dr\,d\theta\,dz, obtemos
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Intuição geométrica curta: um anel de raio r tem comprimento 2\pi r, então pequenas variações angulares geram um alongamento proporcional a r; isso aparece como o fator r.]
Passo 4
Cilíndricas — forma geral da integral tripla.
Para uma função f(x,y,z), a integral sobre um volume V fica
Exemplo rápido de verificação (para fixar): volume de um cilindro de raio R e altura h. Tomando \theta\in[0,2\pi],\; r\in[0,R],\; z\in[0,h]:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{h} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} r\left(\int_{0}^{h} dz\right) dr = 2\pi \cdot h \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^{2} h,
que é o resultado conhecido.
Passo 5
Esféricas — definição das variáveis e transformação.
As coordenadas esféricas usuais (convenção física/matemática comum) são \,(\rho,\varphi,\theta)\, onde:
\rho\ge 0 é a distância do ponto à origem;
\varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (ou colatitude): o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (medido a partir de +z);
\theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy (mesma \theta das cilíndricas).
A transformação para coordenadas cartesianas é
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi.
Relação com cilíndricas: r = \rho\sin\varphi e z=\rho\cos\varphi.
Passo 6
Esféricas — dedução do fator de correção dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Intuição geométrica (mais simples e usual): pequenas variações (d\rho,d\varphi,d\theta) geram um paralelepípedo aproximado com arestas de comprimento aproximado
radial: d\rho,
polar: \rho\, d\varphi (arco ao variar \varphi),
azimutal: \rho\sin\varphi\, d\theta (arco de círculo de raio \rho\sin\varphi quando \theta varia).
O volume aproximado desse elemento é o produto dos comprimentos:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi, \qquad dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta,