A análise de sólidos com simetrias específicas, como cilindros e esferas, torna-se muito mais eficiente quando substituímos o sistema cartesiano por coordenadas cilíndricas ou esféricas. Para ambos os sistemas, apresente as expressões de transformação das variáveis e os respectivos fatores de correção que surgem na mudança do elemento de volume d V, descrevendo como fica a integral tripla para ambos os casos.

Passo 1

O enunciado pede, para os dois sistemas (cilíndricas e esféricas):
  • as expressões de transformação das variáveis (como obter x,y,z a partir das novas coordenadas);
  • o fator de correção (Jacobian) que aparece na mudança do elemento de volume dV;
  • a forma geral da integral tripla em cada sistema.
Informações relevantes (o que devo fornecer):
  • as fórmulas de transformação x,y,z em termos das coordenadas desses sistemas;
  • a dedução ou justificativa do fator de correção (por que surge r em cilíndricas e \rho^2\sin\varphi em esféricas);
  • a escrita da integral tripla correspondente, com indicação dos domínios típicos das novas variáveis e um exemplo simples para fixar a ideia.

Passo 2

Cilíndricas — definição das variáveis e transformação.
  • As coordenadas cilíndricas são \,(r,\theta,z)\, onde:
    • r é a distância radial ao eixo z (ou seja, a projeção de (x,y) no plano xy);
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x;
    • z é a mesma coordenada z cartesiana.
  • A transformação para coordenadas cartesianas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • Intervalos usuais: r\ge 0,\; \theta\in[0,2\pi),\; z\in\mathbb{R} (limites podem ser restritos pelo domínio V).

Passo 3

Cilíndricas — dedução do fator de correção dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Método via Jacobiano (derivadas parciais): montar a matriz das derivadas parciais \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}:
J= \begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta & \partial x/\partial z\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta & \partial y/\partial z\\[4pt] \partial z/\partial r & \partial z/\partial\theta & \partial z/\partial z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • O determinante de J é
\det J = 1\cdot\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\[2pt]\sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix} = 1\cdot (r\cos^2\theta + r\sin^2\theta)=r.
  • Como o elemento de volume transforma por |\det J|\,dr\,d\theta\,dz, obtemos
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Intuição geométrica curta: um anel de raio r tem comprimento 2\pi r, então pequenas variações angulares geram um alongamento proporcional a r; isso aparece como o fator r.]

Passo 4

Cilíndricas — forma geral da integral tripla.
  • Para uma função f(x,y,z), a integral sobre um volume V fica
\iiint_{V} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=\theta_1}^{\theta_2}\!\int_{r=r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}\!\int_{z=z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f\big(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,z\big)\; r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Exemplo rápido de verificação (para fixar): volume de um cilindro de raio R e altura h. Tomando \theta\in[0,2\pi],\; r\in[0,R],\; z\in[0,h]:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{h} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} r\left(\int_{0}^{h} dz\right) dr = 2\pi \cdot h \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^{2} h,
que é o resultado conhecido.

Passo 5

Esféricas — definição das variáveis e transformação.
  • As coordenadas esféricas usuais (convenção física/matemática comum) são \,(\rho,\varphi,\theta)\, onde:
    • \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem;
    • \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (ou colatitude): o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (medido a partir de +z);
    • \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy (mesma \theta das cilíndricas).
  • A transformação para coordenadas cartesianas é
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi.
  • Relação com cilíndricas: r = \rho\sin\varphi e z=\rho\cos\varphi.

Passo 6

Esféricas — dedução do fator de correção dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • Intuição geométrica (mais simples e usual): pequenas variações (d\rho,d\varphi,d\theta) geram um paralelepípedo aproximado com arestas de comprimento aproximado
    • radial: d\rho,
    • polar: \rho\, d\varphi (arco ao variar \varphi),
    • azimutal: \rho\sin\varphi\, d\theta (arco de círculo de raio \rho\sin\varphi quando \theta varia).
  • O volume aproximado desse elemento é o produto dos comprimentos:
dV \approx d\rho \;\cdot\; \rho\, d\varphi \;\cdot\; \rho\sin\varphi\, d\theta = \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • Alternativamente, pode-se calcular o Jacobiano da transformação (\rho,\varphi,\theta)\mapsto(x,y,z) e verificar que |\det J|=\rho^{2}\sin\varphi.

Passo 7

Esféricas — forma geral da integral tripla.
  • Para f(x,y,z):
\iiint_{V} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=\theta_1}^{\theta_2}\!\int_{\varphi=\phi_1(\theta)}^{\phi_2(\theta)}\!\int_{\rho=\rho_1(\varphi,\theta)}^{\rho_2(\varphi,\theta)} f\big(\rho\sin\varphi\cos\theta,\,\rho\sin\varphi\sin\theta,\,\rho\cos\varphi\big)\; \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • Exemplo clássico: volume da esfera unidade ( \rho\in[0,1],\;\varphi\in[0,\pi],\;\theta\in[0,2\pi]):
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{1}\rho^{2}\,d\rho\right) = 2\pi\cdot 2\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\pi}{3},
confirmando o resultado conhecido.

Passo 8

Dicas práticas (curtas e úteis para a prova)
  • Use coordenadas cilíndricas quando o sólido tem simetria em torno de um eixo (por exemplo, cilindros, tubos, corpos de revolução com eixo z).
  • Use coordenadas esféricas quando o sólido tem simetria radial (esferas, cascas esféricas, cones centrados na origem, etc.).
  • Ao trocar de variáveis, sempre:
    • escreva f em termos das novas coordenadas substituindo x,y,z;
    • multiplique pelo fator de correção ( r ou \rho^{2}\sin\varphi);
    • escolha corretamente a ordem de integração e os limites em função da geometria.
  • Lembre: r=\rho\sin\varphi é a ligação direta entre os dois sistemas quando precisar trocar.

Resposta

Cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z, \qquad dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
\iiint_{V} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=\theta_1}^{\theta_2}\int_{r=r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}\int_{z=z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Esféricas:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi, \qquad dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta,
\iiint_{V} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=\theta_1}^{\theta_2}\int_{\varphi=\phi_1(\theta)}^{\phi_2(\theta)}\int_{\rho=\rho_1(\varphi,\theta)}^{\rho_2(\varphi,\theta)} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\; \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.

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