Analise a solução y=phi(x) para o problema de valor inicial
d yd x=y^2-3 y+2, y(0)=1,5

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar e analisar a solução do problema de valor inicial dfracdydx=y^2-3y+2,;y(0)=1,5. O conteúdo é EDO de 1ª ordem separável e vamos precisar separar variáveis, usar frações parciais e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separamos variáveis:
dyy^2-3y+2=dx

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais de 1/[(y-1)(y-2)]:
1(y-1)(y-2)=-1y-1+1y-2

Passo 4

Integramos dos dois lados:
integrall(-1y-1+1y-2r),dy=integral dx

Passo 5

Isto dá
-ln|y-1|+ln|y-2|=x+C
Ou ainda
lny-2y-1=x+C

Passo 6

Exponenciando, obtemos
y-2y-1=K e^x, K=e^C

Passo 7

Isolando y:
$$
y-2=K e^{x}(y-1)$$
$$
y(1 - K e^{x})=2 - K e^{x}$$
$$
y=\frac{2 - K e^{x}}{1 - K e^{x}}$$

Passo 8

Usamos a condição inicial y(0)=1,5:
2 - K1 - K=32Longrightarrow K=-1

Passo 9

Logo a solução particular é
phi(x)=2+e^x1+e^x

Passo 10

Analisando:
— o denominador 1+e^x>0 para todo x, então o domínio é R;
— derivando, phi'(x)=-dfrace^x(1+e^x)^2<0, ou seja, é decrescente;
— limites assintóticos:
limxto-inftyphi(x)=2,limxto+inftyphi(x)=1;
— as curvas y=2 e y=1 são soluções de equilíbrio (instável em y=2, estável em y=1), e a integral suavemente faz a transição de 2 para 1.

Resposta

phi(x)=2+e^x1+e^x, definida para todo xinR, monotonicamente decrescente, com limxto-inftyphi(x)=2 e limxto+inftyphi(x)=1.

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