Analise a solução
para o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar e analisar a solução do problema de valor inicial
. O conteúdo é EDO de 1ª ordem separável e vamos precisar separar variáveis, usar frações parciais e aplicar a condição inicial.
Passo 2
Separamos variáveis:
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais de
:
Passo 4
Integramos dos dois lados:
Passo 5
Isto dá
Ou ainda
Passo 6
Exponenciando, obtemos
Passo 7
Isolando
:
$$
y-2=K e^{x}(y-1)$$
$$
y(1 - K e^{x})=2 - K e^{x}$$
$$
y=\frac{2 - K e^{x}}{1 - K e^{x}}$$
Passo 8
Usamos a condição inicial
:
Passo 9
Logo a solução particular é
Passo 10
Analisando:
— o denominador para todo
, então o domínio é
;
— derivando, , ou seja, é decrescente;
— limites assintóticos:
— o denominador
— derivando,
— limites assintóticos:
— as curvas