Se f tiver derivadas parciais de segunda ordem contínuas em (a, b), então o polinômio de Taylor de segundo grau de f em (a, b) é
Pf(x, y) & =f(a, b)+fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+12 fx x(a, b)(x-a)^2 & +fx y(x-a)(y-b)+12 fy y(a, b)(y-b)^2
Determine o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função:
f(x, y)=e^-x^2-y^2 em(0,0).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar o polinômio de Taylor de 2º grau da função f(x,y)=e^-x^2-y^2 no ponto (0,0). Para isso, precisamos calcular f(0,0), as derivadas parciais de primeira ordem fx, fy e de segunda ordem fxx, fxy, fyy avaliadas em (0,0), e depois usar a fórmula padrão do polinômio de Taylor.

Passo 2

Calcular f(0,0). Como -x^2-y^2=0 em (0,0), temos
f(0,0)=e^0=1

Passo 3

Determinar as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y)=-2x,e^-x^2-y^2,
fy(x,y)=-2y,e^-x^2-y^2
Avaliando em (0,0), obtemos fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx(x,y)=partialpartial x(-2x,e^-x^2-y^2)=-2e^-x^2-y^2+4x^2,e^-x^2-y^2
fyy(x,y)=partialpartial y(-2y,e^-x^2-y^2)=-2e^-x^2-y^2+4y^2,e^-x^2-y^2
fxy(x,y)=partialpartial y(-2x,e^-x^2-y^2)=4xy,e^-x^2-y^2
Avaliando em (0,0), resulta fxx(0,0)=-2, fyy(0,0)=-2 e fxy(0,0)=0.

Passo 5

Substituir na fórmula do polinômio de Taylor de 2º grau:
P2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+tfrac12fxx(0,0)x^2+fxy(0,0)xy+tfrac12fyy(0,0)y^2
Substituindo os valores, obtemos
P2(x,y)=1+0+0+tfrac12(-2)x^2+0+tfrac12(-2)y^2=1-x^2-y^2

Resposta

P2(x,y)=1-x^2-y^2

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