Se
tiver derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
, então o polinômio de Taylor de segundo grau de
em
é
Determine o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função:
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar o polinômio de Taylor de 2º grau da função
no ponto
. Para isso, precisamos calcular
, as derivadas parciais de primeira ordem
e de segunda ordem
avaliadas em
, e depois usar a fórmula padrão do polinômio de Taylor.
Passo 2
Calcular
. Como
em
, temos
Passo 3
Determinar as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliando em
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Avaliando em
Passo 5
Substituir na fórmula do polinômio de Taylor de 2º grau:
Substituindo os valores, obtemos