Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
y^prime=(y-x) / x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a seguinte equação diferencial:
y' = y - xx
O nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é de coeficientes homogêneos e, se for, resolver ela. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais de primeira ordem e como identificar se são homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de coeficientes homogêneos. Basicamente, uma equação diferencial é dita homogênea se todos os termos da equação têm o mesmo grau quando consideramos y e x. Isso facilita a resolução usando uma substituição comum.
A nossa equação é:
y' = y - xx
Vamos reescrever isso para facilitar a visualização dos termos:
y' = yx - 1
Perceba que tanto yx quanto o número 1 são termos de grau 0 (já que y está dividido por x, o que neutraliza o grau). Isso indica que a equação é homogênea de primeiro grau.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos resolvê-la. O método mais comum para resolver equações diferenciais homogêneas é fazer a substituição v = yx. Vamos seguir esses passos:
  1. Substituição: v = yx
    Então, y = v cdot x
  2. Derivando y em relação a x:
    Usando a regra do produto:
    y' = v + x cdot v'
  3. Substituindo na equação original:
    A equação original é:
    y' = yx - 1
    Substituindo y = v cdot x e y' = v + x cdot v', temos:
    v + x cdot v' = v - 1
  4. Simplificando a equação:
    Vamos eliminar v dos dois lados:
    v + x cdot v' - v = -1
    x cdot v' = -1
  5. Isolando v':
    v' = -1x
  6. Integrando ambos os lados:
    integral v' , dx = integral -1x , dx
    v = -ln|x| + C
    Onde C é a constante de integração.
  7. Voltando para y:
    Lembrando que v = yx:
    yx = -ln|x| + C
    Multiplicando ambos os lados por x:
    y = x(-ln|x| + C)
    y = -x ln|x| + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -x ln|x| + Cx
Onde C é uma constante qualquer.

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