Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a seguinte equação diferencial:
O nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é de coeficientes homogêneos e, se for, resolver ela. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais de primeira ordem e como identificar se são homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de coeficientes homogêneos. Basicamente, uma equação diferencial é dita homogênea se todos os termos da equação têm o mesmo grau quando consideramos
e
. Isso facilita a resolução usando uma substituição comum.
A nossa equação é:
Vamos reescrever isso para facilitar a visualização dos termos:
Perceba que tanto
quanto o número
são termos de grau 0 (já que
está dividido por
, o que neutraliza o grau). Isso indica que a equação é homogênea de primeiro grau.
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos resolvê-la. O método mais comum para resolver equações diferenciais homogêneas é fazer a substituição
. Vamos seguir esses passos:
-
Substituição:
Então, -
Derivando
em relação a :
Usando a regra do produto: -
Substituindo na equação original:
A equação original é:
Substituindoe , temos:
-
Simplificando a equação:
Vamos eliminardos dois lados: -
Isolando
: -
Integrando ambos os lados:
Ondeé a constante de integração. -
Voltando para
:
Lembrando que:
Multiplicando ambos os lados por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.