Esboce a solução para o problema de valor inicial
e determine seu valor máximo.
e determine seu valor máximo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
com
, e depois esboçar essa solução e determinar seu valor máximo. O conteúdo principal é uma EDO de primeira ordem separável, então vamos usar separação de variáveis e integração.
Passo 2
Começamos aplicando separação de variáveis. Reescrevendo
, temos:
Em seguida integramos ambos os lados. No lado esquerdo,
Passo 3
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
dá:
Logo a solução explícita é:
$$
y(t) = e^{2t - t^2 + \ln 3} = 3,e^{2t - t^2}
$$
Passo 4
Para esboçar, note que o expoente
pode ser escrito como
e portanto
Passo 5
Para determinar o valor máximo, basta notar que o pico ocorre quando o expoente
é máximo. Derivando
em relação a
e igualando a zero:
logo o valor máximo de
$$
y(1) = 3,e^{2\cdot1 - 1^2} = 3e
$$
Resposta
A solução do PVI é
e seu valor máximo é
, atingido em
.