Esboce a solução para o problema de valor inicial
d yd t=2 y-2 y t, y(0)=3
e determine seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por dydt=2y-2yt com y(0)=3, e depois esboçar essa solução e determinar seu valor máximo. O conteúdo principal é uma EDO de primeira ordem separável, então vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Começamos aplicando separação de variáveis. Reescrevendo dydt=y(2-2t), temos:
1y,dy = (2-2t),dt
Em seguida integramos ambos os lados. No lado esquerdo, integral 1y,dy = ln|y|. No lado direito, integral(2-2t),dt = 2t - t^2 + C. Logo:
ln|y| = 2t - t^2 + C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=3. Substituindo t=0 e y=3 em ln|y| = 2t - t^2 + C dá:
ln 3 = C
Logo a solução explícita é:
$$
y(t) = e^{2t - t^2 + \ln 3} = 3,e^{2t - t^2}
$$

Passo 4

Para esboçar, note que o expoente 2t - t^2 pode ser escrito como
2t - t^2 = -(t-1)^2 + 1
e portanto
y(t) = 3e,e^-(t-1)^2 que é uma “campainha” (gaussiana) centrada em t=1 com altura 3e.

Passo 5

Para determinar o valor máximo, basta notar que o pico ocorre quando o expoente 2t - t^2 é máximo. Derivando 2t - t^2 em relação a t e igualando a zero:
ddt(2t - t^2) = 2 - 2t = 0 implies t = 1
logo o valor máximo de y(t) é
$$
y(1) = 3,e^{2\cdot1 - 1^2} = 3e
$$

Resposta

A solução do PVI é y(t)=3e^2t - t^2 e seu valor máximo é 3e, atingido em t=1.

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