Análise de Tensão em uma Estrutura de Concreto: A tensão em uma viga de concreto
sob carga varia de acordo com a seguinte função de posição x :
sigma(x)=100 x^2-200 x+500
Onde x é a distância em metros a partir de um ponto fixo na viga e sigma(x) é a tensão em N / m^2 no ponto x. Determine a taxa de variação da tensão em x=2 metros e analise a distribuição da tensão ao longo da viga.

Passo 1

A gente tem a função de tensão ao longo da viga dada por sigma(x)=100x^2-200x+500. O objetivo é calcular a taxa de variação dessa tensão em x=2 metros e entender como a tensão varia ao longo de toda a viga. Para isso vamos precisar usar derivadas e análise de funções quadráticas.

Passo 2

Para achar a taxa de variação usamos derivação. Lembra que, para um polinômio ax^n, a derivada é n,a x^n-1. Aplicando termo a termo em sigma(x):
sigma'(x)=ddx(100x^2)-ddx(200x)+ddx(500)=200x-200+0=200x-200
Agora a gente avalia em x=2:
sigma'(2)=200cdot2-200=400-200=200. Ou seja, em 2 metros a tensão está aumentando a 200,N/m^2 para cada metro adicional.

Passo 3

Para entender a distribuição geral note que sigma(x) é uma parábola com coeficiente positivo ( 100>0), então ela abre para cima. O ponto mínimo (vértice) ocorre onde sigma'(x)=0.
200x-200=0Longrightarrow xv=200200=1
Em x=1 metro a tensão mínima é
sigma(1)=100cdot1^2-200cdot1+500=100-200+500=400,N/m^2
Isso significa que para 0<= x<1 a tensão decresce até 400,N/m^2 em x=1, e para x>1 ela cresce indefinidamente em forma quadrática.

Resposta

A taxa de variação em x=2 m é sigma'(2)=200,N/m^2 por metro. A distribuição é uma parábola côncava para cima, com mínimo de 400,N/m^2 em x=1 m; a tensão decresce até esse ponto e cresce para x>1.

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