Dada a superfície s: x^2+y^2+z^2=4 e o campo vetorial F(x, y, z)=(0,0, z), determine o fluxo do campo F sobre s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície que é uma esfera, definida pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $. E também temos um campo vetorial $ \vec{F}(x, y, z) = (0, 0, z) $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o fluxo desse campo vetorial passando pela superfície da esfera. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume delimitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial $ \vec{F} $. A divergência é dada por:
F
No nosso caso, $ \vec{F} = (0, 0, z) $, então:
div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Portanto,
F = (0, 0, z)

Passo 3

Agora que sabemos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo $ \Phi $ do campo vetorial $ \vec{F} $ através da superfície fechada $ S $ é igual à integral tripla da divergência de $ \vec{F} $ sobre o volume $ V $ limitado por $ S $:
Phi
Como a divergência é constante e igual a 1, a integral fica mais simples:
F

Passo 4

Precisamos então calcular o volume da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $. Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
x^2 + y^2 + z^2 = 4
Aqui, o raio $ R $ da nossa esfera é $ 2 $ (já que $ 2^{2} = 4 $).

Passo 5

Calculando o volume:
V = 43 pi (2)^3 = 43 pi times 8 = 323 pi

Resposta

O fluxo do campo $ \vec{F} $ sobre a superfície $ s $ é $ \frac{32}{3} \pi $.

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