Dada a superfície
e o campo vetorial
, determine o fluxo do campo
sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície que é uma esfera, definida pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $. E também temos um campo vetorial $ \vec{F}(x, y, z) = (0, 0, z) $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o fluxo desse campo vetorial passando pela superfície da esfera. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume delimitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial $ \vec{F} $. A divergência é dada por:
No nosso caso, $ \vec{F} = (0, 0, z) $, então:
Portanto,
Passo 3
Agora que sabemos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo $ \Phi $ do campo vetorial $ \vec{F} $ através da superfície fechada $ S $ é igual à integral tripla da divergência de $ \vec{F} $ sobre o volume $ V $ limitado por $ S $:
Como a divergência é constante e igual a 1, a integral fica mais simples:
Passo 4
Precisamos então calcular o volume da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $. Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
Aqui, o raio $ R $ da nossa esfera é $ 2 $ (já que $ 2^{2} = 4 $).
Passo 5
Calculando o volume:
Resposta
O fluxo do campo $ \vec{F} $ sobre a superfície $ s $ é $ \frac{32}{3} \pi $.