Velocidade de Fluxo de Água em um Canal: Um engenheiro está analisando o fluxo de água em um canal retangular. A função que descreve a área A(h) de fluxo de água em função da profundidade h do canal é dada por:
A(h)=2 h(5-h)
Onde h é a profundidade da água em metros. Determine a taxa de variação da área de fluxo quando a profundidade da água é 2 metros.

Passo 1

O enunciado dá a área do fluxo de água em função da profundidade: A(h)=2h(5-h). Vamos precisar usar derivação de funções polinomiais (ou regra do produto) para encontrar A'(h) e depois avaliar em h=2.

Passo 2

Para simplificar a derivada, expandimos primeiro A(h). Temos:
A(h)=2h(5-h)=10h-2h^2

Passo 3

Agora calculamos a derivada em relação a h. A derivada de 10h é 10 e a de -2h^2 é -4h. Assim:
A'(h)=10-4h

Passo 4

Finalmente, avaliamos em h=2:
A'(2)=10-4cdot2=10-8=2

Passo 5

O resultado representa a taxa de variação da área (em metros quadrados) por unidade de profundidade (metro).

Resposta

2 m^2/m

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