Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condiçÔes iniciais do PVI, a solução particular.
t y^prime+(t+1) y=t ; t>0 y(ln (2))=1

Passo 1

Temos a EDO t,y' + (t+1),y = t para t>0 e a condição inicial y(ln2)=1. É uma equação linear de 1ª ordem; vamos precisar colocá-la na forma padrão y' + p(t)y = q(t).

Passo 2

Dividimos a equação original por t (que é não-nulo em t>0) para obter
y' + l(1 + 1tr)y = 1
onde p(t)=1+tfrac1t e q(t)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral (1 + 1t),dt = e^t + ln t = t,e^t

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t). Assim o lado esquerdo fica a derivada de mu(t)y:
(t e^t y)' = t e^t cdot 1 = t e^t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t e^t y = integral t e^t,dt = t e^t - e^t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y = t e^t - e^t + Ct e^t = 1 - 1t + Ct e^t
Esta é a solução geral.

Passo 7

Para achar a solução particular, usamos y(ln2)=1. Substituindo t=ln2, y=1 e e^ln2=2, temos
1 = 1 - 1ln2 + C(ln2)cdot2 implies C = 2

Passo 8

Substituindo C=2 na solução geral obtemos a solução particular
y = 1 - 1t + 2t e^t

Resposta

Solução geral: y = 1 - 1t + Ct e^t. Com a condição inicial y(ln2)=1, obtemos C=2 e a solução particular é y = 1 - 1t + 2t e^t

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