Análise o uso de aletas planas de alumínio, com perfis triangular e parabólico. Elas são instaladas sobre uma parede plana a
. O fluido adjacente está a
, e o coeficiente de transcal para o ambiente é
. Cada aleta possui 3 mm de espessura (t), 20 de Largura (w) e 15 mm de comprimento (L). Compare a eficiência e a dissipação de calor correspondente aos dois tipos de aletas…
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o enunciado e o que cai nessa questão.
Enunciado resumido: a gente tem aletas de alumínio montadas numa parede a 140 °C, imersas num fluido a 28 °C, com coeficiente de troca convectiva h=40 W/m² °C. Cada aleta tem 3 mm de espessura t, 20 mm de “altura” (largura w, perpendicular ao plano) e comprimento L=15 mm.
Temos dois perfis de aleta: espessura decresce linearmente (triangular) ou segue curva parabólica. O objetivo é comparar para os dois perfis:
• A eficiência da aleta η
• A taxa de calor dissipada Q
Enunciado resumido: a gente tem aletas de alumínio montadas numa parede a 140 °C, imersas num fluido a 28 °C, com coeficiente de troca convectiva h=40 W/m² °C. Cada aleta tem 3 mm de espessura t, 20 mm de “altura” (largura w, perpendicular ao plano) e comprimento L=15 mm.
Temos dois perfis de aleta: espessura decresce linearmente (triangular) ou segue curva parabólica. O objetivo é comparar para os dois perfis:
• A eficiência da aleta η
• A taxa de calor dissipada Q
Conteúdo/matéria: teoria de aletas em regime permanente (equação diferencial 1-D de condução + convecção na superfície). Vamos precisar:
- calcular área de secção A e perímetro P para cada perfil (aproximando por uma espessura média)
- achar o parâmetro m = √(hP/(kA)), onde k≈237 W/m °C para alumínio
- usar η = tanh(mL)/(mL)
- usar Q = sqrt(hP k A) · (T_b–T_∞) · tanh(mL)
Passo 2
Definindo as grandezas para aleta triangular:
– espessura média t_tri = t/2 = 3 mm/2 = 1,5 mm = 0,0015 m
– largura w = 20 mm = 0,02 m
– área de secção A_tri = w·t_tri = 0,02·0,0015 = 3,0×10^–5 m²
– perímetro de troca (duas faces) P_tri = 2·(w + t_tri) ≈ 2·(0,02 + 0,0015) = 0,043 m
– espessura média t_tri = t/2 = 3 mm/2 = 1,5 mm = 0,0015 m
– largura w = 20 mm = 0,02 m
– área de secção A_tri = w·t_tri = 0,02·0,0015 = 3,0×10^–5 m²
– perímetro de troca (duas faces) P_tri = 2·(w + t_tri) ≈ 2·(0,02 + 0,0015) = 0,043 m
Para aleta parabólica (espessura t(x)=t·[1–(x/L)²]):
– espessura média t_par = (1/L)∫₀ᴸ t·[1–(x/L)²]dx = t·(2/3) = 2,0 mm = 0,002 m
– A_par = w·t_par = 0,02·0,002 = 4,0×10^–5 m²
– P_par = 2·(w + t_par) = 2·(0,02 + 0,002) = 0,044 m
– espessura média t_par = (1/L)∫₀ᴸ t·[1–(x/L)²]dx = t·(2/3) = 2,0 mm = 0,002 m
– A_par = w·t_par = 0,02·0,002 = 4,0×10^–5 m²
– P_par = 2·(w + t_par) = 2·(0,02 + 0,002) = 0,044 m
Dados comuns:
– ΔT = T_b – T_∞ = 140 – 28 = 112 °C
– h = 40 W/m²°C
– k (Al) ≈ 237 W/m°C
– L = 0,015 m
– ΔT = T_b – T_∞ = 140 – 28 = 112 °C
– h = 40 W/m²°C
– k (Al) ≈ 237 W/m°C
– L = 0,015 m
Passo 3
Calcular o parâmetro m e o produto mL:
Para triangular:
m_tri = √[h P_tri/(k A_tri)] = √[40·0.043/(237·3,0×10^–5)] ≈ 15,55 m^–1
m_tri·L = 15,55·0,015 ≈ 0,233
Para triangular:
m_tri = √[h P_tri/(k A_tri)] = √[40·0.043/(237·3,0×10^–5)] ≈ 15,55 m^–1
m_tri·L = 15,55·0,015 ≈ 0,233
Para parabólica:
m_par = √[40·0.044/(237·4,0×10^–5)] ≈ 13,63 m^–1
m_par·L = 13,63·0,015 ≈ 0,204
m_par = √[40·0.044/(237·4,0×10^–5)] ≈ 13,63 m^–1
m_par·L = 13,63·0,015 ≈ 0,204
Passo 4
Calcular a eficiência η = tanh(mL)/(mL):
η_tri = tanh(0,233)/0,233 ≈ 0,229/0,233 ≈ 0,982
η_par = tanh(0,204)/0,204 ≈ 0,202/0,204 ≈ 0,986
η_tri = tanh(0,233)/0,233 ≈ 0,229/0,233 ≈ 0,982
η_par = tanh(0,204)/0,204 ≈ 0,202/0,204 ≈ 0,986
Passo 5
Calcular a dissipação Q pelo “método da raiz”:
Q = √(h P k A) · ΔT · tanh(mL)
Q = √(h P k A) · ΔT · tanh(mL)
Para triangular:
√(40·0.043·237·3,0×10^–5) ≈ 0,1106
Q_tri = 0,1106·112·tanh(0,233) ≈ 0,1106·112·0,229 ≈ 2,84 W
√(40·0.043·237·3,0×10^–5) ≈ 0,1106
Q_tri = 0,1106·112·tanh(0,233) ≈ 0,1106·112·0,229 ≈ 2,84 W
Para parabólica:
√(40·0.044·237·4,0×10^–5) ≈ 0,1292
Q_par = 0,1292·112·tanh(0,204) ≈ 0,1292·112·0,202 ≈ 2,92 W
√(40·0.044·237·4,0×10^–5) ≈ 0,1292
Q_par = 0,1292·112·tanh(0,204) ≈ 0,1292·112·0,202 ≈ 2,92 W
Resposta
• Aleta triangular: η ≈ 0,982 e Q ≈ 2,84 W
• Aleta parabólica: η ≈ 0,986 e Q ≈ 2,92 W
• Aleta parabólica: η ≈ 0,986 e Q ≈ 2,92 W
Ou seja, ambas são bem eficientes (η ≈ 98 %), mas a parabólica dissipa um pouquinho mais de calor.