A partir do estudo experimental da eficiência de troca térmica de um dissipador de calor, obteve-se dados de T(C) vs X(mm) em regime. Pede-se: Obter o modelo que melhor se ajusta aos dados experimentais, (infinita ou adiabática). (Efetuar o ajuste pelo Método dos Mínimos Quadrados);
  • Calcular h;
  • Calcular a eficiência da aleta, (considerar o melhor modelo);
  • Calcular a taxa de transcal da aleta
\
hline |c|c|c|c|c|c| hline $X(mm)$ & 0 & 11 & 20 & 29 & 38 hline $T(C)$ & 62,46 & 61,00 & 59,87 & 59,29 & 58,78 hline 0 11 20 29 38
hline Tamb=56 C 62,46 61,00 59,87 59,29 58,78
hline \
Aletas de alumínio: 38 mm de comprimento, 1 mm de espessura e 34 mm de largura; ;

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um experimento de troca térmica em uma aleta de alumínio. Mediram a temperatura ao longo da aleta (distância de 0 a 38 mm) e queremos:
  1. Saber qual modelo teórico — aleta “infinita” (queda exponencial) ou aleta “adiabática” (queda hiperbólica) — melhor ajusta esses dados, usando Mínimos Quadrados.
  2. Calcular o coeficiente convectivo .
  3. Calcular a eficiência da aleta, usando o modelo que melhor se ajustou.
  4. Calcular a taxa de calor transferida por aleta.
    Conteúdo necessário: equação da aleta em regime permanente, linearização do modelo “infinito” , regressão linear, e definições de , , eficiência e .

Passo 2

Primeiro vamos organizar os dados e definir a “diferença de temperatura”
theta(x);=;T(x);-;Tinfty,
onde c|ccccc x,(mm) & 0 & 11 & 20 & 29 & 38hline T;(^circ!C) &62,46&61,00&59,87&59,29&58,78 theta=T-56 &6,46&5,00&3,87&3,29&2,78 .
Tabela de theta(x)=theta0,e^-m,x, :
lntheta(x)=lntheta0;-;m,x
Teoria: para aleta infinita em regime permanente a solução é
com . A gente lineariza tomando dos dois lados:
Se isso encaixar bem nos dados, escolhemos o modelo “infinito”.

Passo 3

Fazendo a regressão linear de lntheta(x) = underbrace1,847lntheta0 ;-; underbrace0,02243m;(mm^-1);x contra theta0 = e^1.847approx6,35,, m=0,02243;mm^-1=22,43;m^-1 (em milímetros), obtemos:
[
\ln\theta(x)

\underbrace{1{,}847}{\ln\theta_0}
;-;
\underbrace{0{,}02243}
{m;(\mathrm{mm}^{-1})};x.
]
Ou seja
O coeficiente de correlação fica muito próximo de 1, mostrando que o modelo exponencial (aleta “infinita”) encaixa super bem.

Passo 4

Agora calculamos espessura t=1mm,; largura W=34mm ;Longrightarrow; A = t,W = 34times10^-6,m^2, . A geometria da aleta:
perímetro molhado P=2,(W+t)approx2,(34+1),mm=70,mm=0,07,m
m^2 = h,Pk,A Longrightarrow h = m^2,k,AP, í
Tomamos h = (22,43)^2times237times34times10^-60,07 approx58;W/(m^2K) . Da relação

temos
[
h

\frac{(22{,}43)2\times237\times34\times10{-6}}{0{,}07}
\approx58;\mathrm{W/(m^2K)}.
]

Passo 5

Mesmo escolhendo o modelo “infinito” para o ajuste, a eficiência normalmente se calcula pela fórmula da aleta de comprimento finito e ponta adiabática:
eta = tanh(m,L)m,L,
onde m,L = 22,43times0,038approx0,852, tanh(0,852)approx0,691, mm eta = 0,6910,852approx0,81(,81% de eficiência,) m.
Calculando
ê

Passo 6

Por fim, a taxa de calor por aleta (usando condição de ponta adiabática) é
[
\dot Q

\sqrt{h,P,k,A};\theta_0;\tanh(m,L).
]
Primeiro
dot Q = raizh,P,k,A;theta0;tanh(m,L) .
Logo
dot Q =0,1807times6,35times0,691 approx0,79;W
por aleta.

Resposta

Modelo que melhor ajusta: aleta “infinita” (queda exponencial).
,
,
eficiência (81 %),
taxa de calor .

Exercícios relacionados