A partir do estudo experimental da eficiência de troca térmica de um dissipador de calor, obteve-se dados de
vs
em regime. Pede-se: Obter o modelo que melhor se ajusta aos dados experimentais, (infinita ou adiabática). (Efetuar o ajuste pelo Método dos Mínimos Quadrados);
- Calcular h;
- Calcular a eficiência da aleta, (considerar o melhor modelo);
- Calcular a taxa de transcal da aleta
\
hline
0
11
20
29
38
hline
62,46
61,00
59,87
59,29
58,78
hline \
Aletas de alumínio: 38 mm de comprimento, 1 mm de espessura e 34 mm de largura;
;
hline
|
0 | 11 | 20 | 29 | 38 |
hline
|
62,46 | 61,00 | 59,87 | 59,29 | 58,78 |
hline \ |
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é um experimento de troca térmica em uma aleta de alumínio. Mediram a temperatura ao longo da aleta (distância
de 0 a 38 mm) e queremos:
- Saber qual modelo teórico — aleta “infinita” (queda exponencial) ou aleta “adiabática” (queda hiperbólica) — melhor ajusta esses dados, usando Mínimos Quadrados.
- Calcular o coeficiente convectivo
. - Calcular a eficiência da aleta, usando o modelo que melhor se ajustou.
- Calcular a taxa de calor transferida por aleta.
Conteúdo necessário: equação da aleta em regime permanente, linearização do modelo “infinito”, regressão linear, e definições de , , eficiência e .
Passo 2
Primeiro vamos organizar os dados e definir a “diferença de temperatura”
onde
.
Tabela de :
Tabela de
Teoria: para aleta infinita em regime permanente a solução é
com
. A gente lineariza tomando
dos dois lados:
Se isso encaixar bem nos dados, escolhemos o modelo “infinito”.
Passo 3
Fazendo a regressão linear de
contra
(em milímetros), obtemos:
[
\ln\theta(x)
\underbrace{1{,}847}{\ln\theta_0}
;-;
\underbrace{0{,}02243}{m;(\mathrm{mm}^{-1})};x.
]
;-;
\underbrace{0{,}02243}{m;(\mathrm{mm}^{-1})};x.
]
Ou seja
O coeficiente de correlação fica muito próximo de 1, mostrando que o modelo exponencial (aleta “infinita”) encaixa super bem.
Passo 4
Agora calculamos
. A geometria da aleta:
Tomamos
. Da relação
temos
[
h
\frac{(22{,}43)2\times237\times34\times10{-6}}{0{,}07}
\approx58;\mathrm{W/(m^2K)}.
]
\approx58;\mathrm{W/(m^2K)}.
]
Passo 5
Mesmo escolhendo o modelo “infinito” para o ajuste, a eficiência normalmente se calcula pela fórmula da aleta de comprimento finito e ponta adiabática:
onde
mm
m.
Calculando
Calculando
Passo 6
Por fim, a taxa de calor por aleta (usando condição de ponta adiabática) é
[
\dot Q
\sqrt{h,P,k,A};\theta_0;\tanh(m,L).
]
]
Primeiro
.
Logo
Logo
por aleta.
Resposta
Modelo que melhor ajusta: aleta “infinita” (queda exponencial).
,
,
eficiência (81 %),
taxa de calor .
eficiência
taxa de calor