Analise se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir, justificando.
se dois vetores A e B são não nulos e não paralelos, eles determinam um plano e o vetor A \times B será perpendicular a este plano.

Passo 1

O enunciado afirma que, se dois vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} são não nulos e não paralelos, eles determinam um plano, e que o vetor \mathbf{A}\times\mathbf{B} é perpendicular a esse plano. O conteúdo aqui é o produto vetorial em geometria no espaço.

Passo 2

Dois vetores não nulos e não paralelos em \mathbb{R}^3 geram um subespaço bidimensional, isto é, o plano
P = \{\alpha\,\mathbf{A} + \beta\,\mathbf{B}\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}.
Qualquer vetor \mathbf{v} em P pode ser escrito como \mathbf{v}=\alpha\,\mathbf{A}+\beta\,\mathbf{B}.

Passo 3

Pela definição do produto vetorial, \mathbf{A}\times\mathbf{B} é ortogonal a \mathbf{A} e a \mathbf{B}, ou seja,
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{B}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=0.
Então, para \mathbf{v}=\alpha\,\mathbf{A}+\beta\,\mathbf{B} em P, vale
\mathbf{v}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) =\alpha\,[\mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})] +\beta\,[\mathbf{B}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})] =0.
Logo \mathbf{A}\times\mathbf{B} é ortogonal a todo vetor de P.

Passo 4

Como \mathbf{A}\times\mathbf{B} é ortogonal a qualquer vetor do plano P determinado por \mathbf{A} e \mathbf{B}, concluímos que ele é perpendicular a esse plano.

Resposta

Verdadeira.

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