Sobre o comando II, considere as seguintes afirmações:
I. Os pontos s1,2=-6,318 pm j fazem parte do diagrama de Lugar das Raízes;
II. Para que s1,2=-6,318 pm j façam parte do diagrama de Lugar das Raízes, K=13,633.
Assinale a alternativa correta:
a) Ambas as afirmações são falsas
b) Ambas as afirmações são verdadeiras, e a afirmação II justifica a afirmação I
c) A afirmação I é falsa e a afirmação II é verdadeira
d) A afirmação I é verdadeira e a afirmação II é falsa
e) Ambas as afirmações são verdadeiras, mas a afirmação II não justifica a afirmação I

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o enunciado. A questão fala de um sistema (comando II) cujo lugar das raízes é dado pelo polinômio característico típico
1 + G(s)H(s) = 0, G(s)H(s)=Ks(s+1)(s+5),
A afirmação I diz que os pontos
s1,2=-6,318pm j
estariam no lugar das raízes (RL).
A afirmação II diz que, para esses pontos estarem no RL, vale
K=13,633,
O que precisamos usar:
- Condição de ângulo do lugar das raízes (somatório de ângulos = (2m+1)·180°).
- Condição de módulo (para achar o K correspondente, usamos ).
A partir do próximo passo, a gente testa a condição de ângulo e depois calcula o K.

Passo 2

Testando a afirmação I (condição de ângulo).
Para que um ponto sum ang<=(s0 - pólos) - sum ang<=(s0 - zeros) = (2m+1)180°, esteja no RL, a soma dos ângulos das contribuições de cada pólo (menos as de cada zero) deve dar um múltiplo ímpar de 180°:
ó
No nosso caso não há zeros finitos, só pólos em , e .
Pegamos .
1) Pólo em 0: vetor
(ou , mas melhor ficar em torno de ).
2) Pólo em : vetor
.
3) Pólo em : vetor
.
Agora soma-se:
.
302,8° não é (180°, 540°, …). Logo a condição de ângulo não bate: esses pontos não estão no lugar das raízes.

Passo 3

Conclusão sobre a I: está falsa.

Passo 4

Mesmo que fosse fazer a condição de módulo para achar o |G(s0)H(s0)| = l|Ks0(s0+1)(s0+5)r| = 1 (isto é, calcular
e daí extrair ), isso não “repara” o fato de que o ponto nem satisfaz a condição de ângulo. Portanto, o valor também não tem sentido para colocar esse ponto no RL.

Resposta

a) Ambas as afirmações são falsas.

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