Um analista de certa instituição financeira observou que a probabilidade de determinado tipo de cliente atrasar um pagamento é P(A)= 0,2 . Caso um cliente esteja com pagamento atrasado,a probabilidade de ele se tornar inadimplente é representada por P(B / A)=0,4 . Por outro lado,considera-se que P(B / A^C)=0 , em que A^C representa o evento complementar de A ,de modo que P(A^C)=0,8
Com base nessas informações,julgue o seguinte item.
A e A^C são eventos independentes.

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está falando. Temos um cenário onde analisamos a probabilidade de um cliente atrasar um pagamento, que é representada por $ P(A) = 0,2 $. Além disso, se o cliente atrasa o pagamento (evento $ A $), a probabilidade dele se tornar inadimplente é $ P(B|A) = 0,4 P(A) = 0,2 ã A^{C} $), a probabilidade de se tornar inadimplente é $ P(B|A^{C}) = 0 $. Sabemos também que $ P(A^{C}) = 0,8 $. A questão pede para julgarmos se os eventos $ A $ e $ A^{C} $ são independentes. Então, vamos precisar entender o conceito de independência de eventos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos $ X $ e $ Y $ são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
X
Ou seja, a probabilidade de ambos os eventos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos eventos $ A $ e $ A^{C} $. O evento $ A^{C} $ é o complemento de $ A $, ou seja, se $ A $ ocorre, $ A^{C} $ não ocorre, e vice-versa. Portanto, a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos, $ P(A \cap A^{C}) $, é zero, pois não é possível que um aconteça ao mesmo tempo que o outro.
A

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição de independência usando as probabilidades individuais:
P(A) times P(A^C) = 0,2 times 0,8 = 0,16
Comparando com $ P(A \cap A^{C}) = 0 $, vemos que 0 não é igual a 0,16.

Passo 5

Como $ P(A \cap A^{C}) \neq P(A) \times P(A^{C}) $, os eventos $ A $ e $ A^{C} $ não são independentes. Na verdade, eles são mutuamente exclusivos, o que significa que a ocorrência de um impede a ocorrência do outro.

Resposta

Falso. Os eventos $ A $ e $ A^{C} $ não são independentes.

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