Um analista de mercado tem
de chance de acertar uma projeção sem ajuda. Com ajuda de um software, a chance aumenta para
. Suponha que a chance de usar o software é
(a) qual a chance do analista acertar uma previsão qualquer?
(b) dado que uma previsão foi aceita qual a probabilidade de ele ter feito uso de um software?
(a) qual a chance do analista acertar uma previsão qualquer?
(b) dado que uma previsão foi aceita qual a probabilidade de ele ter feito uso de um software?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
- A chance de o analista acertar sem ajuda é
. - Com ajuda do software a chance de acertar sobe para
. - A probabilidade de ele usar o software em uma previsão é
.
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Qual a chance do analista acertar uma previsão qualquer?
(b) Dado que uma previsão foi acertada, qual a probabilidade de ele ter usado o software?
(a) Qual a chance do analista acertar uma previsão qualquer?
(b) Dado que uma previsão foi acertada, qual a probabilidade de ele ter usado o software?
Passo 2
Vamos definir eventos para ficar claro e legível:
- Seja
o evento “o analista usou o software”. - Seja
o evento “o analista não usou o software”. - Seja
o evento “a previsão está correta (acertou)”.
Pegando os valores do enunciado:
Aqui
significa “probabilidade de acertar dado que usou o software”, e
é “probabilidade de acertar dado que não usou o software”.
Passo 3
Para responder (a) usamos a Regra da Probabilidade Total. A ideia é que, para saber a probabilidade de acertar (
), podemos considerar os dois caminhos mutuamente exclusivos: usou o software ou não usou. A fórmula é:
Explicando as partes:
é a contribuição para
vinda dos casos em que ele usou o software;
é a contribuição dos casos sem software. Note que
.
Agora substituímos os números:
Calcule cada produto:
Some:
Em porcentagem,
.
Passo 4
Para fixar a intuição, pense em
previsões:
- Em
delas, ou seja , ele usa o software; desses , acerta → acertos. - Nas
restantes (sem software), acerta → acertos.
Total de acertosem , ou . Isso confere com o cálculo anterior.
Passo 5
Para responder (b) queremos
: a probabilidade de que ele tenha usado o software sabendo que a previsão foi acertada. Aqui usamos o Teorema de Bayes. A fórmula geral:
Já temos
,
e
. Substituindo:
Podemos simplificar a fração multiplicando numerador e denominador por
ou ver como fração reduzida:
Em porcentagem isso é aproximadamente
. Arredondando de forma prática,
.
Interpretação: entre todas as previsões que deram certo, cerca de
foram feitas com auxílio do software — faz sentido porque o software aumenta bastante a taxa de acerto e é usado na maioria das previsões.
Resposta
(a)
(b)
(b)