Um analista de mercado tem 60 \% de chance de acertar uma projeção sem ajuda. Com ajuda de um software, a chance aumenta para 85 \%. Suponha que a chance de usar o software é 70 \%
(a) qual a chance do analista acertar uma previsão qualquer?
(b) dado que uma previsão foi aceita qual a probabilidade de ele ter feito uso de um software?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • A chance de o analista acertar sem ajuda é 60\%.
  • Com ajuda do software a chance de acertar sobe para 85\%.
  • A probabilidade de ele usar o software em uma previsão é 70\%.
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Qual a chance do analista acertar uma previsão qualquer?
(b) Dado que uma previsão foi acertada, qual a probabilidade de ele ter usado o software?

Passo 2

Vamos definir eventos para ficar claro e legível:
  • Seja S o evento “o analista usou o software”.
  • Seja S^{c} o evento “o analista não usou o software”.
  • Seja A o evento “a previsão está correta (acertou)”.
Pegando os valores do enunciado:
P(S)=0,7,\qquad P(A\mid S)=0,85,\qquad P(A\mid S^{c})=0,6.
Aqui P(A\mid S) significa “probabilidade de acertar dado que usou o software”, e P(A\mid S^{c}) é “probabilidade de acertar dado que não usou o software”.

Passo 3

Para responder (a) usamos a Regra da Probabilidade Total. A ideia é que, para saber a probabilidade de acertar ( P(A)), podemos considerar os dois caminhos mutuamente exclusivos: usou o software ou não usou. A fórmula é:
P(A)=P(A\mid S)\,P(S)+P(A\mid S^{c})\,P(S^{c}).
Explicando as partes: P(A\mid S)\,P(S) é a contribuição para P(A) vinda dos casos em que ele usou o software; P(A\mid S^{c})\,P(S^{c}) é a contribuição dos casos sem software. Note que P(S^{c})=1-P(S).
Agora substituímos os números:
P(S^{c})=1-0,7=0,3.
P(A)=0,85\cdot 0,7 + 0,6\cdot 0,3.
Calcule cada produto:
0,85\cdot 0,7=0,595, \qquad 0,6\cdot 0,3=0,18.
Some:
P(A)=0,595+0,18=0,775.
Em porcentagem, \,P(A)=77{,}5\%.

Passo 4

Para fixar a intuição, pense em 1000 previsões:
  • Em 70\% delas, ou seja 700, ele usa o software; desses 700, acerta 85\% 0,85\cdot700=595 acertos.
  • Nas 300 restantes (sem software), acerta 60\% 0,60\cdot300=180 acertos.
    Total de acertos =595+180=775 em 1000, ou 77{,}5\%. Isso confere com o cálculo anterior.

Passo 5

Para responder (b) queremos P(S\mid A): a probabilidade de que ele tenha usado o software sabendo que a previsão foi acertada. Aqui usamos o Teorema de Bayes. A fórmula geral:
P(S\mid A)=\frac{P(A\mid S)\,P(S)}{P(A)}.
Já temos P(A\mid S)=0,85, P(S)=0,7 e P(A)=0,775. Substituindo:
P(S\mid A)=\frac{0,85\cdot 0,7}{0,775}=\frac{0,595}{0,775}.
Podemos simplificar a fração multiplicando numerador e denominador por 1000 ou ver como fração reduzida:
\frac{0,595}{0,775}=\frac{595}{775}=\frac{119}{155}\approx 0,767741935.
Em porcentagem isso é aproximadamente 76{,}774\%. Arredondando de forma prática, 76{,}8\%.
Interpretação: entre todas as previsões que deram certo, cerca de 76{,}8\% foram feitas com auxílio do software — faz sentido porque o software aumenta bastante a taxa de acerto e é usado na maioria das previsões.

Resposta

(a) P(A)=77{,}5\%
(b) P(S\mid A)\approx76{,}8\%

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