(Banco do Brasil / CESGRANRIO (adaptado)) Em uma empresa,
dos funcionários trabalham no turno da manhã e
no turno da noite. Sabe-se que
dos funcionários do turno da manhã faltam ao trabalho em determinado dia, enquanto
dos funcionários do turno da noite também faltam.
(a) Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente faltar nesse dia?
(b) Sabendo que um funcionário faltou, qual é a probabilidade de ele trabalhar no turno da manhã?
(a) Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente faltar nesse dia?
(b) Sabendo que um funcionário faltou, qual é a probabilidade de ele trabalhar no turno da manhã?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
-
dos funcionários trabalham no turno da manhã. -
dos funcionários trabalham no turno da noite. -
dos funcionários do turno da manhã faltam num dia dado. -
dos funcionários do turno da noite faltam num dia dado.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente faltar nesse dia?
(b) Sabendo que um funcionário faltou, qual é a probabilidade de ele trabalhar no turno da manhã?
(a) Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente faltar nesse dia?
(b) Sabendo que um funcionário faltou, qual é a probabilidade de ele trabalhar no turno da manhã?
Passo 2
Definir eventos e escrever as probabilidades dadas em notação de probabilidade (isso ajuda a aplicar as fórmulas corretamente).
- Seja
o evento “o funcionário trabalha no turno da manhã”. - Seja
o evento “o funcionário trabalha no turno da noite”. - Seja
o evento “o funcionário falta nesse dia”.
As probabilidades dadas são:
(Isto é:
é a fração correspondente a
, etc.)
Passo 3
Resolver (a) — usar a Lei da Probabilidade Total.
Explicação da ideia: como todo funcionário está ou em
ou em
(partição do espaço), a probabilidade de faltar é a soma das probabilidades de faltar vindo de cada turno, ponderadas pela probabilidade de estar em cada turno. Matematicamente:
Agora calculamos numericamente:
Calcular cada termo:
Somando:
Interpretação:
, ou seja
.
Passo 4
Resolver (b) — usar a Fórmula de Bayes (explicação e aplicação).
Explicação da ideia: queremos
, a probabilidade de o funcionário ser do turno da manhã dado que faltou. Pela definição de probabilidade condicional:
E
pode ser obtido por
. Substituindo:
Já temos todos os números:
,
e
(do passo anterior). Então:
Simplificando a fração:
Interpretação:
, ou seja
. Em palavras: entre os funcionários que faltaram,
eram do turno da manhã.
Passo 5
Verificação rápida de consistência e motivação: é razoável que a probabilidade condicionada aponte mais para a manhã porque há mais funcionários pela manhã e a taxa de faltas lá também é maior; por isso a maior parte das faltas vem do turno da manhã. Fica aí a dica mental: quando ocorrer um evento ligado a subgrupos, use a Lei da Probabilidade Total para a probabilidade marginal e Bayes para invertê-la.
Resposta
(a)
(ou
)
(b) (ou
)
(b)