(Banco do Brasil / CESGRANRIO (adaptado)) Em uma empresa, 60 \% dos funcionários trabalham no turno da manhã e 40 \% no turno da noite. Sabe-se que 10 \% dos funcionários do turno da manhã faltam ao trabalho em determinado dia, enquanto 5 \% dos funcionários do turno da noite também faltam.
(a) Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente faltar nesse dia?
(b) Sabendo que um funcionário faltou, qual é a probabilidade de ele trabalhar no turno da manhã?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • 60\% dos funcionários trabalham no turno da manhã.
  • 40\% dos funcionários trabalham no turno da noite.
  • 10\% dos funcionários do turno da manhã faltam num dia dado.
  • 5\% dos funcionários do turno da noite faltam num dia dado.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente faltar nesse dia?
(b) Sabendo que um funcionário faltou, qual é a probabilidade de ele trabalhar no turno da manhã?

Passo 2

Definir eventos e escrever as probabilidades dadas em notação de probabilidade (isso ajuda a aplicar as fórmulas corretamente).
  • Seja M o evento “o funcionário trabalha no turno da manhã”.
  • Seja N o evento “o funcionário trabalha no turno da noite”.
  • Seja F o evento “o funcionário falta nesse dia”.
As probabilidades dadas são:
P(M)=0,6,\quad P(N)=0,4,
P(F\mid M)=0,1,\quad P(F\mid N)=0,05.
(Isto é: 0,6 é a fração correspondente a 60\%, etc.)

Passo 3

Resolver (a) — usar a Lei da Probabilidade Total.
Explicação da ideia: como todo funcionário está ou em M ou em N (partição do espaço), a probabilidade de faltar é a soma das probabilidades de faltar vindo de cada turno, ponderadas pela probabilidade de estar em cada turno. Matematicamente:
P(F)=P(M)\,P(F\mid M)+P(N)\,P(F\mid N).
Agora calculamos numericamente:
P(F)=0,6\cdot0,1+0,4\cdot0,05.
Calcular cada termo:
0,6\cdot0,1=0,06, \qquad 0,4\cdot0,05=0,02.
Somando:
P(F)=0,06+0,02=0,08.
Interpretação: P(F)=0,08, ou seja 8\%.

Passo 4

Resolver (b) — usar a Fórmula de Bayes (explicação e aplicação).
Explicação da ideia: queremos P(M\mid F), a probabilidade de o funcionário ser do turno da manhã dado que faltou. Pela definição de probabilidade condicional:
P(M\mid F)=\frac{P(M\cap F)}{P(F)}.
E P(M\cap F) pode ser obtido por P(M\cap F)=P(M)\,P(F\mid M). Substituindo:
P(M\mid F)=\frac{P(M)\,P(F\mid M)}{P(F)}.
Já temos todos os números: P(M)=0,6, P(F\mid M)=0,1 e P(F)=0,08 (do passo anterior). Então:
P(M\mid F)=\frac{0,6\cdot0,1}{0,08}=\frac{0,06}{0,08}.
Simplificando a fração:
\frac{0,06}{0,08}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75.
Interpretação: P(M\mid F)=0,75, ou seja 75\%. Em palavras: entre os funcionários que faltaram, 75\% eram do turno da manhã.

Passo 5

Verificação rápida de consistência e motivação: é razoável que a probabilidade condicionada aponte mais para a manhã porque há mais funcionários pela manhã e a taxa de faltas lá também é maior; por isso a maior parte das faltas vem do turno da manhã. Fica aí a dica mental: quando ocorrer um evento ligado a subgrupos, use a Lei da Probabilidade Total para a probabilidade marginal e Bayes para invertê-la.

Resposta

(a) 0,08 (ou 8\%)
(b) 0,75 (ou 75\%)

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