Um analista preparou cinco soluções (linhas) cada uma contendo
de
e usou quatro métodos de titulação (colunas), obtendo pontos finais diferentes para cada solução. Complete a tabela ANOVA parcial:
Fonte da variação
SQ
gl
MQ
Linhas
Colunas
Erro
0,006
-
-
Total
0,046
-
-
-
(a) Preencha os campos vazios na tabela ANOVA;
(b) Verifique se existem diferenças significativas para
de confiança entre (i) as concentrações de
das diferentes soluções e (ii) entre os resultados obtidos pelos diferentes métodos de titulação.
| Fonte da variação | SQ | gl | MQ |
|
|
| Linhas |
|
||||
| Colunas | |||||
| Erro | 0,006 | - | - | ||
| Total | 0,046 | - | - | - |
(b) Verifique se existem diferenças significativas para
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
-
Pedidos:
- Preencher os campos vazios da tabela ANOVA parcial (linhas = soluções, colunas = métodos).
- Verificar, ao nível de confiança de
, se há diferenças significativas entre:
(i) as concentrações dedas diferentes soluções (linhas) e
(ii) os resultados obtidos pelos diferentes métodos de titulação (colunas).
-
Dados fornecidos no enunciado / tabela:
- número de linhas (soluções):
. - número de colunas (métodos):
. - soma dos quadrados total:
. - soma dos quadrados do erro:
. - média dos quadrados das linhas (já dada na tabela):
(ou seja ). - a tabela pede:
para Linhas e Colunas; já temos e .
- número de linhas (soluções):
A resolução começa a partir desses dados.
Passo 2
Modelo e graus de liberdade (explicação breve e cálculos).
- Estamos diante de uma ANOVA bidirecional sem replicação (uma observação por célula):
linhas e colunas, total de observações . - Fórmulas de graus de liberdade:
-
. -
. -
. -
.
-
Aplicando com
e
:
-
. -
. -
. -
.
(Verificação:
— soma dos graus de liberdade confere.)
Passo 3
Calcular a soma de quadrados das Linhas usando a MQ dada.
- Relação entre MQ e SQ:
, logo . - Para as linhas:
.
Substituindo:
Passo 4
Obter a soma de quadrados das Colunas usando a identidade da decomposição das SQ.
- Identidade:
. - Logo
.
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Calcular a média dos quadrados das Colunas e do Erro.
-
Podemos arredondar, por exemplo, para. -
Expliquei:
é a estimativa da variância associada a cada fonte de variação; é obtida dividindo-se a soma de quadrados pelos graus de liberdade correspondentes.
Passo 6
Calcular os valores
para Linhas e Colunas.
- Regra:
.
Para as Linhas:
Para as Colunas:
Arredondando para duas casas decimais:
.
Passo 7
Obter os valores críticos
para
(nível de confiança
) e comparar.
- Valores críticos (tabela
, região de rejeição superior, ): - Para Linhas:
- Para Colunas:
- Para Linhas:
Comparações:
- Linhas:
⇒ rejeita-se a hipótese nula de igualdade das médias das linhas; há diferença significativa entre as soluções ao nível de . - Colunas:
⇒ rejeita-se a hipótese nula de igualdade das médias das colunas; há diferença significativa entre os métodos de titulação ao nível de .
Passo 8
Resumo dos cálculos numéricos finais (valores para preencher a tabela):
-
Linhas:
-
-
-
(dado) -
-
(a de confiança)
-
-
Colunas:
-
-
-
(aprox. ) -
-
(a de confiança)
-
-
Erro:
-
(dado) -
-
-
-
Total:
-
(dado) -
-
Resposta
(a) Linhas:
(a) Colunas:
(a) Erro:
(a) Total:
(a) Colunas:
(a) Erro:
(a) Total:
(b)(i) Há diferença significativa entre as concentrações das diferentes soluções (Linhas): sim, pois
.
(b)(ii) Há diferença significativa entre os resultados dos diferentes métodos de titulação (Colunas): sim, pois .
(b)(ii) Há diferença significativa entre os resultados dos diferentes métodos de titulação (Colunas): sim, pois