Um analista preparou cinco soluções (linhas) cada uma contendo 2,00 \%(\mathrm{~m} / \mathrm{v}) de \mathrm{Ca}^{2+} e usou quatro métodos de titulação (colunas), obtendo pontos finais diferentes para cada solução. Complete a tabela ANOVA parcial:
Fonte da variação SQ gl MQ \mathrm{F}_{\text {cal }} \mathrm{F}_{\text {tab }}
Linhas 2,3 \times 10^{-3}
Colunas
Erro 0,006 - -
Total 0,046 - - -
(a) Preencha os campos vazios na tabela ANOVA;
(b) Verifique se existem diferenças significativas para 95 \% de confiança entre (i) as concentrações de \mathrm{Ca}^{2+} das diferentes soluções e (ii) entre os resultados obtidos pelos diferentes métodos de titulação.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pedidos:
    1. Preencher os campos vazios da tabela ANOVA parcial (linhas = soluções, colunas = métodos).
    2. Verificar, ao nível de confiança de 95\%, se há diferenças significativas entre:
      (i) as concentrações de \mathrm{Ca}^{2+} das diferentes soluções (linhas) e
      (ii) os resultados obtidos pelos diferentes métodos de titulação (colunas).
  • Dados fornecidos no enunciado / tabela:
    • número de linhas (soluções): r=5.
    • número de colunas (métodos): c=4.
    • soma dos quadrados total: \text{SQ}_{\text{Total}}=0,046.
    • soma dos quadrados do erro: \text{SQ}_{\text{Erro}}=0,006.
    • média dos quadrados das linhas (já dada na tabela): \text{MQ}_{\text{Linhas}}=2{,}3\times10^{-3} (ou seja 0,0023).
    • a tabela pede: \text{SQ},\,\text{gl},\,\text{MQ},\,F_{\text{cal}},\,F_{\text{tab}} para Linhas e Colunas; já temos \text{SQ}_{\text{Total}} e \text{SQ}_{\text{Erro}}.
A resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Modelo e graus de liberdade (explicação breve e cálculos).
  • Estamos diante de uma ANOVA bidirecional sem replicação (uma observação por célula): r linhas e c colunas, total de observações N=rc.
  • Fórmulas de graus de liberdade:
    • \text{gl}_{\text{Linhas}}=r-1.
    • \text{gl}_{\text{Colunas}}=c-1.
    • \text{gl}_{\text{Erro}}=(r-1)(c-1).
    • \text{gl}_{\text{Total}}=rc-1.
Aplicando com r=5 e c=4:
  • \text{gl}_{\text{Linhas}}=5-1=4.
  • \text{gl}_{\text{Colunas}}=4-1=3.
  • \text{gl}_{\text{Erro}}=(5-1)(4-1)=4\cdot3=12.
  • \text{gl}_{\text{Total}}=5\cdot4-1=20-1=19.
(Verificação: 4+3+12=19 — soma dos graus de liberdade confere.)

Passo 3

Calcular a soma de quadrados das Linhas usando a MQ dada.
  • Relação entre MQ e SQ: \text{MQ}=\dfrac{\text{SQ}}{\text{gl}}, logo \text{SQ}=\text{MQ}\times\text{gl}.
  • Para as linhas: \text{SQ}_{\text{Linhas}}=\text{MQ}_{\text{Linhas}}\times\text{gl}_{\text{Linhas}}.
Substituindo:
\text{SQ}_{\text{Linhas}} = 0{,}0023 \times 4 = 0{,}0092.

Passo 4

Obter a soma de quadrados das Colunas usando a identidade da decomposição das SQ.
  • Identidade: \text{SQ}_{\text{Total}} = \text{SQ}_{\text{Linhas}} + \text{SQ}_{\text{Colunas}} + \text{SQ}_{\text{Erro}}.
  • Logo \text{SQ}_{\text{Colunas}} = \text{SQ}_{\text{Total}} - \text{SQ}_{\text{Linhas}} - \text{SQ}_{\text{Erro}}.
Substituindo os valores conhecidos:
\text{SQ}_{\text{Colunas}} = 0{,}046 - 0{,}0092 - 0{,}006 = 0{,}0308.

Passo 5

Calcular a média dos quadrados das Colunas e do Erro.
  • \text{MQ}_{\text{Colunas}}=\dfrac{\text{SQ}_{\text{Colunas}}}{\text{gl}_{\text{Colunas}}}=\dfrac{0{,}0308}{3}=0{,}010266\ldots
    Podemos arredondar, por exemplo, para 0{,}01027.
  • \text{MQ}_{\text{Erro}}=\dfrac{\text{SQ}_{\text{Erro}}}{\text{gl}_{\text{Erro}}}=\dfrac{0{,}006}{12}=0{,}0005.
Expliquei: \text{MQ} é a estimativa da variância associada a cada fonte de variação; é obtida dividindo-se a soma de quadrados pelos graus de liberdade correspondentes.

Passo 6

Calcular os valores F_{\text{cal}} para Linhas e Colunas.
  • Regra: F_{\text{cal}}=\dfrac{\text{MQ}_{\text{fator}}}{\text{MQ}_{\text{Erro}}}.
Para as Linhas:
F_{\text{cal, Linhas}}=\dfrac{0{,}0023}{0{,}0005}=4{,}6.
Para as Colunas:
F_{\text{cal, Colunas}}=\dfrac{0{,}010266\ldots}{0{,}0005}=20{,}5333\ldots
Arredondando para duas casas decimais: 20{,}53.

Passo 7

Obter os valores críticos F_{\text{tab}} para \alpha=0{,}05 (nível de confiança 95\%) e comparar.
  • Valores críticos (tabela F, região de rejeição superior, \alpha=0{,}05):
    • Para Linhas: F_{0{,}05;\,\text{gl}_1=4,\;\text{gl}_2=12}\approx 3{,}26.
    • Para Colunas: F_{0{,}05;\,\text{gl}_1=3,\;\text{gl}_2=12}\approx 3{,}49.
Comparações:
  • Linhas: F_{\text{cal}}=4{,}6 > F_{\text{tab}}=3{,}26 ⇒ rejeita-se a hipótese nula de igualdade das médias das linhas; há diferença significativa entre as soluções ao nível de 95\%.
  • Colunas: F_{\text{cal}}=20{,}53 > F_{\text{tab}}=3{,}49 ⇒ rejeita-se a hipótese nula de igualdade das médias das colunas; há diferença significativa entre os métodos de titulação ao nível de 95\%.

Passo 8

Resumo dos cálculos numéricos finais (valores para preencher a tabela):
  • Linhas:
    • \text{SQ}_{\text{Linhas}}=0{,}0092
    • \text{gl}_{\text{Linhas}}=4
    • \text{MQ}_{\text{Linhas}}=0{,}0023 (dado)
    • F_{\text{cal, Linhas}}=4{,}6
    • F_{\text{tab, Linhas}}=3{,}26 (a 95\% de confiança)
  • Colunas:
    • \text{SQ}_{\text{Colunas}}=0{,}0308
    • \text{gl}_{\text{Colunas}}=3
    • \text{MQ}_{\text{Colunas}}=0{,}010266\ldots (aprox. 0{,}01027)
    • F_{\text{cal, Colunas}}=20{,}53
    • F_{\text{tab, Colunas}}=3{,}49 (a 95\% de confiança)
  • Erro:
    • \text{SQ}_{\text{Erro}}=0{,}006 (dado)
    • \text{gl}_{\text{Erro}}=12
    • \text{MQ}_{\text{Erro}}=0{,}0005
  • Total:
    • \text{SQ}_{\text{Total}}=0{,}046 (dado)
    • \text{gl}_{\text{Total}}=19

Resposta

(a) Linhas: \text{SQ}=0{,}0092,\\ \text{gl}=4,\\ \text{MQ}=0{,}0023,\\ F_{\text{cal}}=4{,}6,\\ F_{\text{tab}}=3{,}26
(a) Colunas: \text{SQ}=0{,}0308,\\ \text{gl}=3,\\ \text{MQ}=0{,}01027,\\ F_{\text{cal}}=20{,}53,\\ F_{\text{tab}}=3{,}49
(a) Erro: \text{SQ}=0{,}006,\\ \text{gl}=12,\\ \text{MQ}=0{,}0005
(a) Total: \text{SQ}=0{,}046,\\ \text{gl}=19
(b)(i) Há diferença significativa entre as concentrações das diferentes soluções (Linhas): sim, pois F_{\text{cal}}=4{,}6>F_{\text{tab}}=3{,}26.
(b)(ii) Há diferença significativa entre os resultados dos diferentes métodos de titulação (Colunas): sim, pois F_{\text{cal}}=20{,}53>F_{\text{tab}}=3{,}49.

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