Um laboratório de análises químicas conduziu testes em quatro suplementos alimentares enriquecidos com ferro (A, B, C e D). Para isso, o teor de ferro (%) presente nas amostras foi determinado utilizando espectrometria de emissão atômica. Além disso, o fabricante quer ainda verificar se o processo de produção dos suplementos é padronizado, portanto, amostras em seis momentos distintos da produção (T1, T2, T3, T4, T5 e T6) foram coletadas.
Tempos A B C D
T1 20 20 20 20
T2 20 21 21 20
T3 21 21 21 21
T4 20 21 20 20
T5 20 20 20 21
T6 20 21 20 20
(a) Construa a tabela da ANOVA usando a calculadora;
(b) Compare a ANOVA construída em (a) com a ANOVA do Excel (toolbox) usando um \alpha=0,05(95 \%) e \alpha=0,1(90 \%). Discuta porque os valores de \mathrm{F}_{\text {tabelado }} diminuem de 95 \% para 90%;
(c) Existe diferença entre os métodos A , B e C , e entre os tempos T1, T2, T3, T4, T5 e T6 um nível de confiança de 95%?

Passo 1

O enunciado apresenta as medidas do teor de ferro (%) em quatro suplementos (A, B, C, D) em seis tempos de produção (T1 a T6). Perguntas do enunciado:
  1. (a) Construir a tabela da ANOVA (usando calculadora).
  2. (b) Comparar a ANOVA obtida com a do Excel para \alpha=0{,}05 (95%) e \alpha=0{,}1 (90%) e discutir por que o valor crítico de F diminui quando passo de 95% para 90%.
  3. (c) Verificar se existe diferença entre os métodos A,B,C e entre os tempos T1,\dots,T6 com nível de confiança de 95%.
Informações fornecidas (usei diretamente a tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccc} \text{Tempo} & A & B & C & D\\hline T1 & 20 & 20 & 20 & 20\\\ T2 & 20 & 21 & 21 & 20\\\ T3 & 21 & 21 & 21 & 21\\\ T4 & 20 & 21 & 20 & 20\\\ T5 & 20 & 20 & 20 & 21\\\ T6 & 20 & 21 & 20 & 20 \end{array}
Resumos que vou usar (já obtidos a partir da tabela acima):
  • Número total de observações N=24 (6 tempos \times 4 suplementos).
  • Soma total (grand total) G=\sum x_{ij}=489.
  • Média geral \bar x_{\bullet\bullet}=\dfrac{489}{24}=20{,}375.
  • Totais por suplemento (colunas): T_A=121,\; T_B=124,\; T_C=122,\; T_D=122.
  • Totais por tempo (linhas): R_{T1}=80,\;R_{T2}=82,\;R_{T3}=84,\;R_{T4}=81,\;R_{T5}=81,\;R_{T6}=81.
A partir daqui eu calculo as somas dos quadrados e preencho a tabela ANOVA no Passo 2 e seguintes.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vou usar (explicação didática rápida):
  • Estamos diante de uma ANOVA de dois fatores (suplemento = fator A com a=4 níveis; tempo = fator B com b=6 níveis) com uma observação por célula (uma medição por combinação tempo–suplemento). Nessa situação não há replicação por célula; portanto o termo residual que obtivermos é a soma dos efeitos de interação e do erro experimental (não conseguimos separar interação e erro sem replicação). Ainda assim podemos calcular as somas de quadrados e testar efeitos principais assumindo que a interação não é grande (ou, mais corretamente, testamos a interação como parte do resíduo).
  • Fórmulas usadas (explico cada símbolo):
    • Soma total dos quadrados: \displaystyle \text{SST}=\sum_{i,j} x_{ij}^2 - \dfrac{G^2}{N}. Aqui \sum_{i,j} x_{ij}^2 é a soma dos quadrados das observações, G é a soma total e N é o número total de observações.
    • Soma de quadrados do fator A (suplementos): \displaystyle \text{SSA}=\sum_{j=1}^{a}\dfrac{T_j^2}{b}-\dfrac{G^2}{N}, onde T_j é o total da j-ésima coluna (suplemento) e b é o número de níveis de B (aqui b=6).
    • Soma de quadrados do fator B (tempos): \displaystyle \text{SSB}=\sum_{i=1}^{b}\dfrac{R_i^2}{a}-\dfrac{G^2}{N}, onde R_i é o total da i-ésima linha (tempo) e a é o número de níveis de A (aqui a=4).
    • Soma de quadrados do resíduo (interação + erro): \displaystyle \text{SS}_{\text{Res}}=\text{SST}-\text{SSA}-\text{SSB}.
    • Graus de liberdade: \displaystyle df_{A}=a-1,\; df_{B}=b-1,\; df_{\text{Res}}=(a-1)(b-1),\; df_{\text{Total}}=N-1.
    • Quadrados médios: \displaystyle \text{MS}=\dfrac{\text{SS}}{df}.
    • Estatística F para cada fator: \displaystyle F_A=\dfrac{\text{MS}_A}{\text{MS}_{\text{Res}}},\quad F_B=\dfrac{\text{MS}_B}{\text{MS}_{\text{Res}}}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com as somas que já identifiquei.

Passo 3

Cálculo de \sum x_{ij}^2 e \text{SST}:
Observação: na tabela só aparecem valores 20 e 21. Contagem: há 9 observações iguais a 21 e 15 observações iguais a 20.
  • 21^2=441, então contribuição dos 21's: 9\times 441=3969.
  • 20^2=400, contribuição dos 20's: 15\times 400=6000.
  • Logo \displaystyle \sum_{i,j} x_{ij}^2 =3969+6000=9969.
Usando a fórmula da soma total dos quadrados:
\text{SST}=\sum x_{ij}^2 - \dfrac{G^2}{N} =\;9969-\dfrac{489^2}{24}.
Calculo intermediário: 489^2=239121, então \dfrac{239121}{24}=9963{,}375. Assim
\text{SST}=9969-9963{,}375=5{,}625.
Explicação didática: \text{SST} mede a variação total das observações em relação à média global; quanto maior, mais dispersas estão as medidas.

Passo 4

Cálculo da soma de quadrados do fator A (suplementos):
\text{SSA}=\sum_{j=1}^{4}\dfrac{T_j^2}{b}-\dfrac{G^2}{N} =\dfrac{121^2+124^2+122^2+122^2}{6}-\dfrac{489^2}{24}.
Faço as contas:
121^2=14641,\quad 124^2=15376,\quad 122^2=14884.
Soma dos quadrados dos totais das colunas:
14641+15376+14884+14884=59785.
Dividindo por b=6:
\frac{59785}{6}=9964{,}166666\ldots
Subtraindo \dfrac{G^2}{N}=9963{,}375:
\text{SSA}=9964{,}166666\ldots-9963{,}375=0{,}791666\ldots
Arredondando para 6 casas decimais: \displaystyle \text{SSA}=0{,}791667.
Pedacinho didático: \text{SSA} mede a variação entre as médias dos suplementos A, B, C, D — se os suplementos tiverem médias muito diferentes, \text{SSA} será grande.

Passo 5

Cálculo da soma de quadrados do fator B (tempos):
\text{SSB}=\sum_{i=1}^{6}\dfrac{R_i^2}{a}-\dfrac{G^2}{N} =\dfrac{80^2+82^2+84^2+81^2+81^2+81^2}{4}-\dfrac{489^2}{24}.
Faço as contas:
80^2=6400,\;82^2=6724,\;84^2=7056,\;81^2=6561.
Soma:
6400+6724+7056+6561+6561+6561=39863.
Dividindo por a=4:
\frac{39863}{4}=9965{,}75.
Subtraindo \dfrac{G^2}{N}=9963{,}375:
\text{SSB}=9965{,}75-9963{,}375=2{,}375.
Didática: \text{SSB} mede a variação entre os tempos T1 a T6 — se alguns tempos tiverem médias diferentes, \text{SSB} cresce.

Passo 6

Cálculo da soma de quadrados do resíduo (interação + erro):
\text{SS}_{\text{Res}}=\text{SST}-\text{SSA}-\text{SSB} =5{,}625-0{,}791666\ldots-2{,}375.
Calculo:
5{,}625-0{,}791666\ldots=4{,}833333\ldots
4{,}833333\ldots-2{,}375=2{,}458333\ldots
Arredondando: \displaystyle \text{SS}_{\text{Res}}=2{,}458333.
Observação importante (didática e prática para prova): em ANOVA sem replicação, este resíduo contém a interação entre fatores e o erro experimental. Não podemos separá-los sem mais repetições por célula. Ao comparar fatores principais, usamos esse resíduo como denominador das razões F, assumindo (explicitamente) que a interação não domina.

Passo 7

Cálculo dos graus de liberdade e dos quadrados médios:
  • Graus de liberdade: df_A=a-1=4-1=3,\quad df_B=b-1=6-1=5,
df_{\text{Res}}=(a-1)(b-1)=3\cdot5=15,\quad df_{\text{Total}}=N-1=24-1=23.
  • Quadrados médios: \text{MS}_A=\dfrac{\text{SSA}}{df_A}=\dfrac{0{,}7916667}{3}=0{,}2638889,
\text{MS}_B=\dfrac{\text{SSB}}{df_B}=\dfrac{2{,}375}{5}=0{,}475,
\text{MS}_{\text{Res}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{Res}}}{df_{\text{Res}}}=\dfrac{2{,}4583333}{15}=0{,}1638889.
Explicando: MS é a “média” das variações por grau de liberdade; para cada fator comparamos seu MS com o MS do resíduo para ver se o efeito do fator é grande em relação à variabilidade residual.

Passo 8

Cálculo das estatísticas F:
F_A=\dfrac{\text{MS}_A}{\text{MS}_{\text{Res}}}=\dfrac{0{,}2638889}{0{,}1638889}\approx 1{,}61017.
F_B=\dfrac{\text{MS}_B}{\text{MS}_{\text{Res}}}=\dfrac{0{,}475}{0{,}1638889}\approx 2{,}89831.
Interpretação: F grande indica que a variação devido ao fator é grande em relação ao ruído residual. Agora precisamos comparar cada F com o valor crítico F_{\alpha,df_1,df_2} para decidir se rejeitamos a hipótese nula de que as médias do fator são iguais.

Passo 9

Tabela ANOVA final (valores numéricos arredondados para 6 casas decimais) — isto responde à parte (a):
\begin{array}{lrrrr} \text{Fonte} & \text{SS} & df & \text{MS} & F\\hline \text{Suplemento (A)} & 0{,}791667 & 3 & 0{,}263889 & 1{,}61017\\\ \text{Tempo (B)} & 2{,}375000 & 5 & 0{,}475000 & 2{,}89831\\\ \text{Residuo (A\times B \;+\; erro)} & 2{,}458333 & 15 & 0{,}163889 & \;-\;\\hline \text{Total} & 5{,}625000 & 23 & \;-\; & \;-\; \end{array}
Breve comentário para prova: guarde a forma das colunas da tabela ANOVA e as fórmulas para SS, df, MS e F — na prova a calculadora ajuda, mas o método é sempre o mesmo.

Passo 10

Comparação com critérios de significância ( \alpha=0{,}05 e \alpha=0{,}1) e explicação por que F_{\text{tabelado}} diminui ao aumentar \alpha (resposta à parte (b)):
  • Decisões (regra): rejeitamos H_0 para um fator se F_{\text{calc}}>F_{\text{crit}}(\alpha; df_1,df_2), onde df_1 é o df do fator e df_2 é df_{\text{Res}}.
  • Graus de liberdade relevantes:
    • Para suplementos A: df_1=3,\; df_2=15.
    • Para tempos B: df_1=5,\; df_2=15.
  • Valores numéricos dos F calculados:
    • F_A\approx 1{,}610.
    • F_B\approx 2{,}898.
Agora a parte conceitual pedida: por que o F tabelado (crítico) diminui quando passo de 95% para 90%?
  • O valor crítico F_{\alpha} é o ponto tal que a probabilidade de observar um F maior que esse ponto, sob H_0, é \alpha. Se eu reduzo a confiança de 95% para 90% eu aumento \alpha de 0{,}05 para 0{,}10. Uma \alpha maior significa tolerar uma área maior na cauda da distribuição F, então o ponto de corte (o F crítico) fica mais baixo. Em linguagem mais simples: se você aceita um erro tipo I maior, fica mais fácil (isto é, exige um F menor) para declarar um efeito “significativo”. Por isso o F_{\text{crit}} diminui quando passo de 95% para 90%.
Aplicando na prática (comparei com o que o Excel daria — o Excel usaria exatamente a mesma ANOVA e os mesmos F calculados; a diferença está apenas no F_{\text{crit}} que você escolhe conforme \alpha):
  • Para \alpha=0{,}05 (95%): os valores críticos típicos (tabelas F) são aproximadamente F_{0{,}05}(3,15)\approx 3{,}29,\qquad F_{0{,}05}(5,15)\approx 2{,}95\\ (\text{valores de tabela}).Comparando:
    • F_A=1{,}610<3{,}29 \Rightarrow não rejeitamos H_0 para suplementos (sem evidência de diferença entre A,B,C,D a 95%).
    • F_B=2{,}898<2{,}95 (ligeiramente menor que o crítico) \Rightarrow não rejeitamos H_0 para tempos a 95% (ou seja, sem evidência suficiente a 95%).
  • Para \alpha=0{,}10 (90%): os valores críticos são menores, por exemplo F_{0{,}10}(3,15)\approx 2{,}36,\qquad F_{0{,}10}(5,15)\approx 2{,}12\\ (\text{valores de tabela/Excel aproximados}).Comparando:
    • F_A=1{,}610<2{,}36 \Rightarrow novamente não rejeitamos para suplementos a 90%.
    • F_B=2{,}898>2{,}12 \Rightarrow para \alpha=0{,}10 rejeitaríamos H_0 para tempos — isto é, aos 90% de confiança (mais permissivo) os tempos mostram diferença significativa.
Observação prática: o Excel (Analysis ToolPak) ao rodar ANOVA fornece exatamente as mesmas SS, MS e F calculados acima. A única coisa que muda ao comparar com o resultado da tabela é o valor crítico F_{\text{crit}} que você escolher (ou o p-valor calculado); portanto a comparação é só decisão F_{\text{calc}} vs F_{\text{crit}} (ou ver o p-valor). Um detalhe: o Excel também mostra o p-valor correspondente; com nossos F, o p-valor para F_B\approx 2{,}898 com (5,15) df está entre 0{,}05 e 0{,}10 (logo rejeita a 10% mas não a 5%), o que confirma a explicação acima.

Passo 11

Conclusão da parte (c) — existe diferença entre métodos A,B,C e C e entre tempos T1,\dots,T6 com nível de confiança de 95%?
Interpretação direta com \alpha=0{,}05 (95%):
  • Para os métodos (suplementos) A,B,C,D: F_A\approx 1{,}610 e F_{0{,}05}(3,15)\approx 3{,}29. Como F_A<F_{\text{crit}}, não há evidência suficiente para afirmar que há diferença entre os métodos ao nível de 95%.
  • Para os tempos T1,\dots,T6: F_B\approx 2{,}898 e F_{0{,}05}(5,15)\approx 2{,}95. Como F_B é ligeiramente menor que o crítico de 95%, também não rejeitamos H_0 a 95% — logo, com 95% de confiança não detectamos diferença entre os tempos.
Resumo síntese (prático para prova): a 95% de confiança, não há diferença significativa nem entre os suplementos nem entre os tempos; já a 90% de confiança permite detectar diferença entre tempos (mas não entre suplementos).

Resposta

(a) Tabela ANOVA (SS, df, MS, F):
Suplemento (A): \text{SS}=0{,}791667,\; df=3,\; \text{MS}=0{,}263889,\; F=1{,}61017
Tempo (B): \text{SS}=2{,}375000,\; df=5,\; \text{MS}=0{,}475000,\; F=2{,}89831
Resíduo: \text{SS}=2{,}458333,\; df=15,\; \text{MS}=0{,}163889
Total: \text{SS}=5{,}625000,\; df=23.
(b) Comparação e motivo da diminuição de F_{\text{tabelado}}:
  • Com \alpha=0{,}05: F_{0{,}05}(3,15)\approx 3{,}29 e F_{0{,}05}(5,15)\approx 2{,}95. Assim F_A<F_{\text{crit}} e F_B<F_{\text{crit}} → não significantes a 95%.
  • Com \alpha=0{,}10: os F_{\text{crit}} são menores (ex.: F_{0{,}10}(5,15)\approx 2{,}12), logo um mesmo F calculado pode tornar-se significativo quando \alpha aumenta. O F_{\text{crit}} diminui ao passar de 95% para 90% porque aceitar um nível de confiança menor ( \alpha maior) permite uma região crítica maior na cauda da distribuição F, exigindo um corte F menor para rejeitar H_0.
(c) Resposta direta (nível de confiança 95%):
Não — não existe diferença significativa entre os métodos A,B,C,D a 95%.
Não — não existe diferença significativa entre os tempos T1,\dots,T6 a 95%.

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