Um laboratório de análises químicas conduziu testes em quatro suplementos alimentares enriquecidos com ferro (A, B, C e D). Para isso, o teor de ferro (%) presente nas amostras foi determinado utilizando espectrometria de emissão atômica. Além disso, o fabricante quer ainda verificar se o processo de produção dos suplementos é padronizado, portanto, amostras em seis momentos distintos da produção (T1, T2, T3, T4, T5 e T6) foram coletadas.
Tempos
A
B
C
D
T1
20
20
20
20
T2
20
21
21
20
T3
21
21
21
21
T4
20
21
20
20
T5
20
20
20
21
T6
20
21
20
20
(a) Construa a tabela da ANOVA usando a calculadora;
(b) Compare a ANOVA construída em (a) com a ANOVA do Excel (toolbox) usando um
e
. Discuta porque os valores de
diminuem de
para 90%;
(c) Existe diferença entre os métodos A , B e C , e entre os tempos T1, T2, T3, T4, T5 e T6 um nível de confiança de 95%?
| Tempos | A | B | C | D |
| T1 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| T2 | 20 | 21 | 21 | 20 |
| T3 | 21 | 21 | 21 | 21 |
| T4 | 20 | 21 | 20 | 20 |
| T5 | 20 | 20 | 20 | 21 |
| T6 | 20 | 21 | 20 | 20 |
(b) Compare a ANOVA construída em (a) com a ANOVA do Excel (toolbox) usando um
(c) Existe diferença entre os métodos A , B e C , e entre os tempos T1, T2, T3, T4, T5 e T6 um nível de confiança de 95%?
Passo 1
O enunciado apresenta as medidas do teor de ferro (%) em quatro suplementos (A, B, C, D) em seis tempos de produção (T1 a T6). Perguntas do enunciado:
- (a) Construir a tabela da ANOVA (usando calculadora).
- (b) Comparar a ANOVA obtida com a do Excel para
(95%) e (90%) e discutir por que o valor crítico de diminui quando passo de 95% para 90%. - (c) Verificar se existe diferença entre os métodos
e entre os tempos com nível de confiança de 95%.
Informações fornecidas (usei diretamente a tabela do enunciado):
Resumos que vou usar (já obtidos a partir da tabela acima):
- Número total de observações
(6 tempos 4 suplementos). - Soma total (grand total)
. - Média geral
. - Totais por suplemento (colunas):
. - Totais por tempo (linhas):
A partir daqui eu calculo as somas dos quadrados e preencho a tabela ANOVA no Passo 2 e seguintes.
Passo 2
Princípios e fórmulas que vou usar (explicação didática rápida):
- Estamos diante de uma ANOVA de dois fatores (suplemento = fator A com
níveis; tempo = fator B com níveis) com uma observação por célula (uma medição por combinação tempo–suplemento). Nessa situação não há replicação por célula; portanto o termo residual que obtivermos é a soma dos efeitos de interação e do erro experimental (não conseguimos separar interação e erro sem replicação). Ainda assim podemos calcular as somas de quadrados e testar efeitos principais assumindo que a interação não é grande (ou, mais corretamente, testamos a interação como parte do resíduo). - Fórmulas usadas (explico cada símbolo):
- Soma total dos quadrados:
. Aqui é a soma dos quadrados das observações, é a soma total e é o número total de observações. - Soma de quadrados do fator A (suplementos):
, onde é o total da j-ésima coluna (suplemento) e é o número de níveis de B (aqui ). - Soma de quadrados do fator B (tempos):
, onde é o total da i-ésima linha (tempo) e é o número de níveis de A (aqui ). - Soma de quadrados do resíduo (interação + erro):
- Graus de liberdade:
- Quadrados médios:
- Estatística
para cada fator:
- Soma total dos quadrados:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com as somas que já identifiquei.
Passo 3
Cálculo de
e
:
Observação: na tabela só aparecem valores
e
. Contagem: há
observações iguais a
e
observações iguais a
.
-
, então contribuição dos 's: . -
, contribuição dos 's: . - Logo
Usando a fórmula da soma total dos quadrados:
Calculo intermediário:
, então
. Assim
Explicação didática:
mede a variação total das observações em relação à média global; quanto maior, mais dispersas estão as medidas.
Passo 4
Cálculo da soma de quadrados do fator A (suplementos):
Faço as contas:
Soma dos quadrados dos totais das colunas:
Dividindo por
:
Subtraindo
:
Arredondando para 6 casas decimais:
Pedacinho didático:
mede a variação entre as médias dos suplementos A, B, C, D — se os suplementos tiverem médias muito diferentes,
será grande.
Passo 5
Cálculo da soma de quadrados do fator B (tempos):
Faço as contas:
Soma:
Dividindo por
:
Subtraindo
:
Didática:
mede a variação entre os tempos T1 a T6 — se alguns tempos tiverem médias diferentes,
cresce.
Passo 6
Cálculo da soma de quadrados do resíduo (interação + erro):
Calculo:
Arredondando:
Observação importante (didática e prática para prova): em ANOVA sem replicação, este resíduo contém a interação entre fatores e o erro experimental. Não podemos separá-los sem mais repetições por célula. Ao comparar fatores principais, usamos esse resíduo como denominador das razões
, assumindo (explicitamente) que a interação não domina.
Passo 7
Cálculo dos graus de liberdade e dos quadrados médios:
- Graus de liberdade:
- Quadrados médios:
Explicando: MS é a “média” das variações por grau de liberdade; para cada fator comparamos seu MS com o MS do resíduo para ver se o efeito do fator é grande em relação à variabilidade residual.
Passo 8
Cálculo das estatísticas
:
Interpretação:
grande indica que a variação devido ao fator é grande em relação ao ruído residual. Agora precisamos comparar cada
com o valor crítico
para decidir se rejeitamos a hipótese nula de que as médias do fator são iguais.
Passo 9
Tabela ANOVA final (valores numéricos arredondados para 6 casas decimais) — isto responde à parte (a):
Breve comentário para prova: guarde a forma das colunas da tabela ANOVA e as fórmulas para SS, df, MS e
— na prova a calculadora ajuda, mas o método é sempre o mesmo.
Passo 10
Comparação com critérios de significância (
e
) e explicação por que
diminui ao aumentar
(resposta à parte (b)):
- Decisões (regra): rejeitamos
para um fator se , onde é o df do fator e é . - Graus de liberdade relevantes:
- Para suplementos
: . - Para tempos
: .
- Para suplementos
- Valores numéricos dos
calculados: -
. -
.
-
Agora a parte conceitual pedida: por que o
tabelado (crítico) diminui quando passo de 95% para 90%?
- O valor crítico
é o ponto tal que a probabilidade de observar um maior que esse ponto, sob , é . Se eu reduzo a confiança de 95% para 90% eu aumento de para . Uma maior significa tolerar uma área maior na cauda da distribuição , então o ponto de corte (o crítico) fica mais baixo. Em linguagem mais simples: se você aceita um erro tipo I maior, fica mais fácil (isto é, exige um menor) para declarar um efeito “significativo”. Por isso o diminui quando passo de 95% para 90%.
Aplicando na prática (comparei com o que o Excel daria — o Excel usaria exatamente a mesma ANOVA e os mesmos
calculados; a diferença está apenas no
que você escolhe conforme
):
- Para
(95%): os valores críticos típicos (tabelas F) são aproximadamente Comparando: -
não rejeitamos para suplementos (sem evidência de diferença entre A,B,C,D a 95%). -
(ligeiramente menor que o crítico) não rejeitamos para tempos a 95% (ou seja, sem evidência suficiente a 95%).
-
- Para
(90%): os valores críticos são menores, por exemplo Comparando: -
novamente não rejeitamos para suplementos a 90%. -
para rejeitaríamos para tempos — isto é, aos 90% de confiança (mais permissivo) os tempos mostram diferença significativa.
-
Observação prática: o Excel (Analysis ToolPak) ao rodar ANOVA fornece exatamente as mesmas SS, MS e
calculados acima. A única coisa que muda ao comparar com o resultado da tabela é o valor crítico
que você escolher (ou o p-valor calculado); portanto a comparação é só decisão
vs
(ou ver o p-valor). Um detalhe: o Excel também mostra o p-valor correspondente; com nossos
, o p-valor para
com
df está entre 0{,}05 e 0{,}10 (logo rejeita a 10% mas não a 5%), o que confirma a explicação acima.
Passo 11
Conclusão da parte (c) — existe diferença entre métodos
e
e entre tempos
com nível de confiança de 95%?
Interpretação direta com
(95%):
- Para os métodos (suplementos)
: e . Como , não há evidência suficiente para afirmar que há diferença entre os métodos ao nível de 95%. - Para os tempos
: e . Como é ligeiramente menor que o crítico de 95%, também não rejeitamos a 95% — logo, com 95% de confiança não detectamos diferença entre os tempos.
Resumo síntese (prático para prova): a 95% de confiança, não há diferença significativa nem entre os suplementos nem entre os tempos; já a 90% de confiança permite detectar diferença entre tempos (mas não entre suplementos).
Resposta
(a) Tabela ANOVA (SS, df, MS, F):
Suplemento (A):
Tempo (B):
Resíduo:
Total: .
Suplemento (A):
Tempo (B):
Resíduo:
Total:
(b) Comparação e motivo da diminuição de
:
- Com
: e . Assim e → não significantes a 95%. - Com
: os são menores (ex.: ), logo um mesmo calculado pode tornar-se significativo quando aumenta. O diminui ao passar de 95% para 90% porque aceitar um nível de confiança menor ( maior) permite uma região crítica maior na cauda da distribuição , exigindo um corte menor para rejeitar .
(c) Resposta direta (nível de confiança 95%):
Não — não existe diferença significativa entre os métodos a 95%.
Não — não existe diferença significativa entre os tempos a 95%.
Não — não existe diferença significativa entre os métodos
Não — não existe diferença significativa entre os tempos