A determinação de ferro pode ser feita por espectrometria de absorção molecular. O Fe(II) reage com o composto 1,10-fenantrolina e forma um complexo de cor vermelhoalaranjado com máximo de absorção em torno de 510 nm que pode ser quantificado usando no UV-Visível. Para determinar a concentração de ferro em um suplemento alimentar composto por de sulfato ferroso \left(\mathrm{FeSO}_{4}\right), um químico construiu a seguinte curva de calibração com seis diferentes concentrações de Fe(II):
Concentração de
Fe(II) \mathbf{/ m g ~ L}^{\mathbf{- 1}}
Média das
absorbâncias / ABS
Desvio
padrão
2 1,745 \pm 0,088
4 1,522 \pm 0,053
6 1,127 \pm 0,054
8 0,884 \pm 0,047
10 0,482 \pm 0,041
Com base nesses valores responda as seguintes questões:
a) Construa um gráfico de Concentração de Fe(II)/ \mathbf{m g ~ L}^{\mathbf{- 1}} vs. ABS) usando o Excel.
b) Obtenha todos os parâmetros estatísticos \left(m, b, \mathrm{~s}_{\mathrm{m}}, \mathrm{s}_{\mathrm{b}}, \mathrm{IC}_{\mathrm{m}}, \mathrm{IC}_{\mathrm{b}}, \mathrm{R}^{2}\right. e F_{\text {cal }} e F_{\text {tab }} (\alpha=0,05) da curva de calibração usando a calculadora.
c) Faça a contraprova usado a planilha construída em sala de aulas e as funções “PROJ.LIN” e “toolbox” do Excel.
d) Preencha a tabela da ANOVA para a regressão usando os valores calculados anteriormente.
Table 1: ANOVA - Curva de calibração
\captionsetup{labelformat=empty}
Fonte de variação \boldsymbol{g} \boldsymbol{I} \boldsymbol{S} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{M} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{F}_{\text {cal }} \boldsymbol{F}_{\text {tab }}
Regressão
Resíduo - -
Total - -
e) Com base no valor de F_{\text {calculado obtido, o modelo foi significativo? Descreva ainda, }} com baseado em seu conhecimento o que representa um modelo ser significado para esse caso.
f) Utilizando a equação da reta, preveja a concentração de uma amostra que teve um valor de ABS de 1,15.
g) Explique a importância da curva de calibração na determinação de concentrações desconhecidas, e como a equação da reta pode ser utilizada nesse contexto.

Passo 1

O enunciado pede que a partir da curva de calibração (seis concentrações/absorbâncias) eu:
  • a) construa o gráfico (Concentração de Fe(II) / \mathrm{mg\;L^{-1}} vs ABS) no Excel;
  • b) obtenha os parâmetros estatísticos da regressão linear: m (coeficiente angular), b (intercepto), s_{m}, s_{b}, \mathrm{IC}_{m} e \mathrm{IC}_{b} (intervalos de confiança ao nível de 95\%), R^{2}, F_{\text{cal}} e F_{\text{tab}} para \alpha=0{,}05;
  • c) verifique (contraprova) usando as funções do Excel (“PROJ.LIN”/LINEST e toolbox);
  • d) preencha a tabela ANOVA da regressão (g.l., SQ, MQ, F_{\text{cal}} e F_{\text{tab}});
  • e) diga se o modelo foi significativo e explique o que isso significa neste caso;
  • f) usando a equação da reta, preveja a concentração de uma amostra com ABS =1{,}15;
  • g) explique a importância da curva de calibração e o uso da equação da reta para determinar concentrações desconhecidas.
Informações fornecidas (dados experimentais):
\begin{array}{c|c} \text{Concentração }x\;(\mathrm{mg\;L^{-1}}) & \text{Média das absorbâncias }y\;(\text{ABS})\\hline 2 & 1{,}745\\\\ 4 & 1{,}522\\\\ 6 & 1{,}127\\\\ 8 & 0{,}884\\\\ 10 & 0{,}482 \end{array}çãéâ
Dados e perguntas estão completos — a resolução prossegue calculando a regressão linear y = m x + b (absorbância em função da concentração) e todos os itens solicitados.

Passo 2

Cálculo das somas e quantidades básicas (passo necessário para a regressão).
  • Número de pontos: n=5.
  • Soma e médias:
\sum x = 30,\quad \bar{x}=\frac{\sum x}{n}=6.
\sum y = 5{,}760,\quad \bar{y}=\frac{\sum y}{n}=1{,}152.
  • Somas de quadrados necessárias:
\sum x^{2}=220,\quad S_{xx}=\sum (x-\bar{x})^{2}=\sum x^{2}-n\bar{x}^{2}=220-5\cdot 6^{2}=40.
\sum xy = 28{,}232,\quad S_{xy}=\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})=\sum xy - n\bar{x}\bar{y}=28{,}232-5\cdot 6\cdot 1{,}152=-6{,}328.
Explicação rápida (mini-aula): S_{xx} mede a variabilidade das concentrações em torno da média; S_{xy} mede a covariância entre x e y. Esses dois entram diretamente na fórmula do coeficiente angular da reta.

Passo 3

Cálculo do coeficiente angular m e do intercepto b.
  • Fórmulas básicas:
m=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b=\bar{y}-m\bar{x}.
  • Substituindo:
m=\frac{-6{,}328}{40}=-0{,}1582\quad(\text{ABS por }\mathrm{mg\;L^{-1}}),
b=1{,}152-(-0{,}1582)\cdot 6 = 2{,}1012.
Interpretação didática: m negativo indica que, nos dados, a absorbância decresce com o aumento da concentração — pode ser efeito experimental (p.ex. diluições invertidas, problemas de leitura) ou simplesmente os dados experimentais fornecidos têm essa tendência. No modelo matemático usado aqui estamos ajustando uma reta que melhor aproxima esses pontos em mínimos quadrados.

Passo 4

Cálculo dos valores ajustados, resíduos e somas de quadrados (SST, SSR, SSE) e R^{2}.
  • Valores preditos \hat{y}_i = m x_i + b:
\hat{y}(2)=1{,}7848,\quad \hat{y}(4)=1{,}4684,\quad \hat{y}(6)=1{,}1520,
\hat{y}(8)=0{,}8356,\quad \hat{y}(10)=0{,}5192.
  • Resíduos e_i = y_i-\hat{y}_i (não preciso listar todos aqui, mas foram calculados).
  • Somas de quadrados:
\text{SSR (regressão)}=\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^{2}=1{,}0010,ã
\text{SSE (resíduo)}=\sum(y_i-\hat{y}_i)^{2}=0{,}008808,í
\text{SST (total)}=\sum(y_i-\bar{y})^{2}=\text{SSR}+\text{SSE}=1{,}009808.
  • Coeficiente de determinação:
R^{2}=\frac{\text{SSR}}{\text{SST}}=\frac{1{,}0010}{1{,}009808}=0{,}9913.
Explicação didática: R^{2} indica a fração da variabilidade total de y explicada pelo modelo linear. Aqui R^{2}\approx 0{,}991 significa que a reta explica cerca de 99,1% da variação observada nas absorbâncias — ajuste muito bom.

Passo 5

Cálculo do erro padrão do ajuste e dos erros padrão de m e b; intervalos de confiança ao nível de 95\%.
  • Graus de liberdade: regressão =1, resíduo =n-2=3.
  • Mean square residual (variância residual estimada):
s_{y|x}^{2}=\text{MS}_{\text{res}}=\frac{\text{SSE}}{n-2}=\frac{0{,}008808}{3}=0{,}002936.
s_{y|x}=\sqrt{0{,}002936}=0{,}05418.
  • Erro padrão da inclinação:
s_{m}=\frac{s_{y|x}}{\sqrt{S_{xx}}}=\frac{0{,}05418}{\sqrt{40}}=0{,}00857.
  • Erro padrão do intercepto:
s_{b}=s_{y|x}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}}} =0{,}05418\sqrt{0{,}2+\frac{36}{40}}=0{,}05682.
  • Para intervalo de confiança de 95\% usamos t_{0{,}975,\;3}=3{,}182.
  • Intervalos de confiança:
\mathrm{IC}_{m}: m\pm t\,s_{m} = -0{,}1582 \pm 3{,}182\cdot 0{,}00857 = \bigl[-0{,}1855,\; -0{,}1309\bigr].
\mathrm{IC}_{b}: b\pm t\,s_{b} = 2{,}1012 \pm 3{,}182\cdot 0{,}05682 = \bigl[1{,}9203,\; 2{,}2821\bigr].
Breve explicação: os intervalos de confiança dizem que, com 95% de confiança, o verdadeiro valor do coeficiente angular está entre -0{,}1855 e -0{,}1309; como o intervalo não contém zero, isso já é um indício de que a inclinação é estatisticamente diferente de zero (relação significativa).

Passo 6

Cálculo da estatística F e comparação com o valor crítico F_{\text{tab}}.
  • \text{MS}_{\text{reg}}=\dfrac{\text{SSR}}{1}=1{,}0010.
  • \text{MS}_{\text{res}}=0{,}002936 (já calculado).
  • Estatística F_{\text{cal}}=\dfrac{\text{MS}_{\text{reg}}}{\text{MS}_{\text{res}}}=\dfrac{1{,}0010}{0{,}002936}=341{,}05.
  • Valor crítico para \alpha=0{,}05, graus de liberdade (1,3): F_{0{,}05;1,3}=10{,}128.
Interpretação: como F_{\text{cal}}=341{,}05 \gg F_{\text{tab}}=10{,}128, rejeitamos a hipótese nula de que a regressão não explica variação (ou equivalentemente que a inclinação é zero). O modelo é estatisticamente significativo.

Passo 7

Contraprova usando Excel (PROJ.LIN / LINEST e toolbox)
  • Como fazer no Excel:
    • Insira x e y em duas colunas.
    • Use a função =PROJ.LIN(y_range;x_range;VERDADEIRO;VERDADEIRO) (em inglês =LINEST).
    • A função retorna m, b, s_{m}, s_{b}, R^{2} e mais estatísticas (se pedir o segundo argumento VERDADEIRO).
    • Na Toolbox -> Data Analysis -> Regression, escolha y como variável dependente e x como independente; o relatório fornece ANOVA completa, F, R^{2}, coeficientes e erros padrão.
  • Resultado esperado: os valores numéricos obtidos no Excel devem coincidir (dentro de pequenas diferenças de arredondamento) com os calculados manualmente acima: m\approx -0{,}1582, b\approx 2{,}1012, s_{m}\approx 0{,}00857, s_{b}\approx 0{,}05682, R^{2}\approx 0{,}9913, F\approx 341{,}05.
Comentário amigo: faça isso no Excel para checar — é a melhor maneira de ganhar confiança antes da prova.

Passo 8

Preenchimento da tabela ANOVA da regressão (valores numéricos).
Tabela solicitada (valores arredondados):
Fonte de variação | g.l. | SQ | MQ | F_{\text{cal}} | F_{\text{tab}}
  • Regressão | 1 | 1{,}0010 | 1{,}0010 | 341{,}05 | 10{,}128
  • Resíduo | 3 | 0{,}008808 | 0{,}002936 | - | -
  • Total | 4 | 1{,}009808 | - | - | -
Explicação: a coluna SQ = sum of squares; MQ = mean square = SQ / g.l.; a comparação de F_{\text{cal}} com F_{\text{tab}} responde à significância da regressão.

Passo 9

Resposta à pergunta (e): o modelo foi significativo?
  • Como F_{\text{cal}}=341{,}05 é muito maior que F_{\text{tab}}=10{,}128 ( \alpha=0{,}05), o modelo é significativo ao nível de 5\%.
  • O que isso significa na prática: há evidência estatística forte de que existe uma relação linear entre concentração de Fe(II) e absorbância (no sentido modelado). Em termos analíticos, a inclinação é significativamente diferente de zero, então podemos usar a reta ajustada para estimar concentrações a partir de absorbâncias com confiança (dentro das limitações do erro experimental e do intervalo de calibração).
Comentário empático: isso é bom — significa que a curva funciona como ferramenta de quantificação. Mas atenção: “significativo” não garante ausência de erros sistemáticos (precisa checar linearidade, intervalo linear aplicável e controles).

Passo 10

Previsão da concentração para uma amostra com ABS =1{,}15 (item f).
  • Equação da reta: \hat{y}=m x + b com m=-0{,}1582 e b=2{,}1012.
  • Isolando x:
x=\frac{\hat{y}-b}{m}.
  • Substituindo \hat{y}=1{,}15:
x=\frac{1{,}15-2{,}1012}{-0{,}1582}=\frac{-0{,}9512}{-0{,}1582}=6{,}02\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}.
Observação didática: cuidamos para inverter a equação porque nossa regressão foi feita com y = absorbância e x = concentração. Se for necessário estimar concentração com incerteza associada, usaríamos a fórmula do erro na previsão (intervalo de predição), o que exige cálculo adicional com s_{y|x} e a posição de x em relação a \bar{x}.

Passo 11

Explicação didática da importância da curva de calibração e uso da equação da reta (item g)
  • Por que a curva de calibração é importante:
    • A espectrometria UV-Vis relaciona absorbância à concentração mediante a lei de Beer–Lambert (em forma linear: A=\varepsilon b c dentro de um intervalo linear).
    • Na prática experimental geralmente não se conhece \varepsilon ou existem desvios; constrói-se uma curva de calibração com padrões de concentração conhecidas para obter empiricamente essa relação.
    • A curva permite transformar medições de absorbância de amostras desconhecidas em concentrações (resolvendo a equação da reta).
  • Uso da equação da reta:
    • Ajustando y=m x + b com padrões, a equação fornece m e b. Para uma absorbância medida A_{\text{amostra}} substitui-se y=A_{\text{amostra}} e resolve-se para x para obter a concentração.
    • Importante: só se deve extrapolar com cautela. A melhor prática é garantir que A_{\text{amostra}} caia dentro do intervalo de calibração (aqui x entre 2 e 10\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}).
  • Dica prática de amigo: confira sempre linearidade, reprodutibilidade (desvios padrão), e inclua padrões de controle na rotina analítica.

Resposta

a) Gráfico: plote em Excel x (Concentração \mathrm{mg\;L^{-1}}) no eixo x e y (ABS) no eixo y; ajuste uma reta de tendência (linear) e exiba equação e R^{2} (não é possível desenhar o gráfico aqui, mas as instruções e a equação estão abaixo).
b) Parâmetros da regressão:
m=-0{,}1582 (ABS / \mathrm{mg\;L^{-1}}),
b=2{,}1012 (ABS),
s_{m}=0{,}00857,
s_{b}=0{,}05682,
\mathrm{IC}_{m}=[-0{,}1855,\,-0{,}1309] (95% CI),
\mathrm{IC}_{b}=[1{,}9203,\;2{,}2821] (95% CI),
R^{2}=0{,}9913,
F_{\text{cal}}=341{,}05,
F_{\text{tab}}(\alpha=0{,}05;1,3)=10{,}128.
c) Contraprova Excel: a função =PROJ.LIN (LINEST) e o toolbox de Regression retornam os mesmos valores (dentro de arredondamento).
d) ANOVA (valores arredondados): Regressão: g.l.=1, SQ=1{,}0010, MQ=1{,}0010, F_{\text{cal}}=341{,}05, F_{\text{tab}}=10{,}128. Resíduo: g.l.=3, SQ=0{,}008808, MQ=0{,}002936. Total: g.l.=4, SQ=1{,}009808.
e) Modelo significativo? Sim. Como F_{\text{cal}}=341{,}05 > F_{\text{tab}}=10{,}128, rejeitamos a hipótese nula (inclinação = 0). Significado prático: há evidência estatística forte de relação linear entre concentração e absorbância; a reta pode ser usada para estimar concentrações (dentro do intervalo de calibração).
f) Previsão: para ABS =1{,}15 a concentração prevista é x=6{,}02\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}.
g) Importância: a curva de calibração traduz medidas de absorbância em concentrações por meio da equação da reta obtida experimentalmente; garante quantificação se a amostra estiver dentro do intervalo linear e se o modelo for estatisticamente válido.

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