O índice de iodo é uma medida da insaturação de óleos e gorduras que indica a quantidade de insaturações presentes nos ácidos graxos que compõem esses óleos. Quanto maior o índice de iodo, maior a insaturação, isto é, mais ligações duplas ou triplas há em sua estrutura. Para isso, um químico testou três métodos analíticos para a determinação de índice de iodo ( \mathrm{I}_{2} / \mathrm{g} ) em diferentes amostras de óleos comestíveis.
Método I Método II Método III
Amostra 1 48 55 84
Amostra 2 73 85 68
Amostra 3 51 70 95
Amostra 4 65 69 74
Amostra 5 87 90 67
(a) Construa a tabela da ANOVA usando a calculadora;
(b) Compare a ANOVA construída no item (a) com a ANOVA do Excel (toolbox);
(c) Defina as hipóteses nula e alternativa;
(d) Existe diferença entre os métodos em um nível de confiança de 95%?

Passo 1

O enunciado apresenta resultados de três métodos analíticos (Método I, II e III) testados em cinco amostras de óleos. As perguntas são:
(a) construir a tabela da ANOVA (usando calculadora);
(b) comparar a ANOVA do item (a) com a ANOVA do Excel (toolbox);
(c) definir as hipóteses nula e alternativa;
(d) decidir se existe diferença entre os métodos ao nível de confiança de 95%.
Informações fornecidas (peguei da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccc} & \text{Método I} & \text{Método II} & \text{Método III} \\hline \text{Amostra 1} & 48 & 55 & 84\\\ \text{Amostra 2} & 73 & 85 & 68\\\ \text{Amostra 3} & 51 & 70 & 95\\\ \text{Amostra 4} & 65 & 69 & 74\\\ \text{Amostra 5} & 87 & 90 & 67 \end{array}ééé
Não há mais informações além desses dados; trataremos as amostras como blocos (cada amostra foi medida pelos 3 métodos), ou seja, ANOVA em blocos (two-way sem replicação) para testar efeito dos métodos.

Passo 2

Calcular somas marginais e média geral. Vou somar por método (peguei os valores da tabela):
T_1=\sum \text{Método I}=324,\quad T_2=\sum \text{Método II}=369,\quad T_3=\sum \text{Método III}=388.ééé
Número total de observações \,N=15. Soma total:
T = T_1+T_2+T_3 = 1081.
Média geral:
\bar X = \frac{T}{N} = \frac{1081}{15} \approx 72{,}0666667.
Médias por método (útil para interpretação):
\bar X_1=\frac{324}{5}=64{,}8,\quad \bar X_2=\frac{369}{5}=73{,}8,\quad \bar X_3=\frac{388}{5}=77{,}6.

Passo 3

Explicar e calcular a soma total de quadrados \text{SST}. Fórmula (a ideia): soma dos quadrados das observações menos termo de correção.
Calculei \sum x_{ij}^2 somando quadrados de todos os 15 números (peguei cada valor da tabela):
\sum x_{ij}^2 = 80\,709.
Termo de correção:
C=\frac{T^2}{N}=\frac{1081^2}{15}=77\,904{,}0666667.
Logo
\text{SST}=\sum x_{ij}^2 - C = 80\,709 - 77\,904{,}0666667 = 2\,804{,}9333333.
Interpretação: \text{SST} mede a variabilidade total dos 15 dados em torno da média geral.

Passo 4

Calcular a soma de quadrados de tratamentos (métodos) \text{SS}_{\text{met}}. Fórmula:
\text{SS}_{\text{met}}=\sum_{j=1}^{3}\frac{T_j^2}{n_j} - C,
onde n_j=5 é o número de observações por método. Computei:
\frac{T_1^2}{5}=\frac{324^2}{5}=20\,995{,}2,\quad \frac{T_2^2}{5}=27\,232{,}2,\quad \frac{T_3^2}{5}=30\,108{,}8.
Soma = 78\,336{,}2. Então
\text{SS}_{\text{met}} = 78\,336{,}2 - 77\,904{,}0666667 = 432{,}1333333.
Explicação: \text{SS}_{\text{met}} capta a variabilidade entre as médias dos métodos.

Passo 5

Calcular a soma de quadrados de blocos (amostras) \text{SS}_{\text{b}}. Para cada amostra (linha) somei os três valores para obter as somas de linha R_i (peguei da tabela):
R_1=187,\;R_2=226,\;R_3=216,\;R_4=208,\;R_5=244.
Fórmula:
\text{SS}_{\text{b}}=\sum_{i=1}^{5}\frac{R_i^2}{a} - C,
onde a=3 é o número de tratamentos. Calculei:
\sum \frac{R_i^2}{3} = 78\,500{,}3333333,
logo
\text{SS}_{\text{b}} = 78\,500{,}3333333 - 77\,904{,}0666667 = 596{,}2666666.
Interpretação: \text{SS}_{\text{b}} capta variação entre as amostras (efeito de bloco).

Passo 6

Calcular a soma de quadrados do erro (resíduo) \text{SS}_E. Fórmula:
\text{SS}_E = \text{SST} - \text{SS}_{\text{met}} - \text{SS}_{\text{b}}.
Substituindo:
\text{SS}_E = 2\,804{,}9333333 - 432{,}1333333 - 596{,}2666666 = 1\,776{,}5333334.
Isso é a variabilidade que não foi explicada por métodos nem por blocos.

Passo 7

Calcular graus de liberdade (GL), quadrados médios (MS) e estatísticas F. Para desenho com a=3 métodos, b=5 blocos e N=15:
  • GL total: \text{df}_T = N-1 = 14.
  • GL métodos: \text{df}_{\text{met}} = a-1 = 2.
  • GL blocos: \text{df}_{\text{b}} = b-1 = 4.
  • GL erro: \text{df}_E = (a-1)(b-1) = 2\cdot4 = 8.
Quadrados médios:
\text{MS}_{\text{met}}=\frac{\text{SS}_{\text{met}}}{\text{df}_{\text{met}}}=\frac{432{,}1333333}{2}=216{,}0666667,
\text{MS}_{\text{b}}=\frac{\text{SS}_{\text{b}}}{4}=\frac{596{,}2666666}{4}=149{,}0666667,
\text{MS}_E=\frac{\text{SS}_E}{8}=\frac{1\,776{,}5333334}{8}=222{,}0666667.
Estatística F para efeito dos métodos:
F_0=\frac{\text{MS}_{\text{met}}}{\text{MS}_E}=\frac{216{,}0666667}{222{,}0666667}\approx 0{,}9729.

Passo 8

Determinar o valor crítico e tomar a decisão. Para nível de significância \alpha=0{,}05 e indicadores \text{df}_1=2,\;\text{df}_2=8, o valor crítico da distribuição F é aproximadamente
F_{2,8;0{,}05}\approx 4{,}459.
Comparação: F_0\approx 0{,}973 < 4{,}459. Portanto não rejeitamos a hipótese nula (ver próximo passo para hipóteses).

Passo 9

Comparação com ANOVA do Excel (toolbox) e interpretação das hipóteses.
(b) Sobre a comparação: a ANOVA que o Excel gera para um layout de blocos sem replicação deve apresentar os mesmos valores (talvez pequenas diferenças de arredondamento). Ou seja, os resultados numéricos calculados acima (SS, MS, F) devem coincidir com os do Excel. Se você executar a ANOVA de blocos no Excel, espere valores iguais a 3 casas decimais ao que calculei.
(c) Hipóteses (para o teste de efeito dos métodos):
H_0:\\ \text{As médias dos 3 métodos são iguais} \quad(\bar X_1=\bar X_2=\bar X_3).ééã
H_1:\\ \text{Pelo menos uma média difere das outras}.é
(d) Como F_0 é menor que o valor crítico, não há evidência, ao nível de 95\% de confiança, para afirmar que existe diferença entre os métodos.

Passo 10

Apresento aqui a tabela ANOVA final (valores arredondados) que você pode comparar com o Excel. Todas as quantidades numéricas abaixo foram calculadas a partir dos dados da tabela do enunciado.
Fonte de variação GL SQ QM F
Métodos \,2 \,432{,}133 \,216{,}067 \,0{,}973
Amostras (blocos) \,4 \,596{,}267 \,149{,}067 \,0{,}672
Erro (resíduo) \,8 \,1\,776{,}533 \,222{,}067
Total \,14 \,2\,804{,}933

Resposta

(a) ANOVA (tabela):
Métodos: \text{df}=2,\\ \text{SS}=432{,}133,\\ \text{MS}=216{,}067,\\ F=0{,}973.\nAmostras (blocos): \(\text{df}=4,\\ \text{SS}=596{,}267,\\ \text{MS}=149{,}067,\\ F=0{,}672.\nErro: \(\text{df}=8,\\ \text{SS}=1\,776{,}533,\\ \text{MS}=222{,}067.\nTotal: \(\text{df}=14,\\ \text{SS}=2\,804{,}933.
(b) A ANOVA do Excel deve coincidir com a tabela acima (diferenças mínimas só por arredondamento).
(c) \displaystyle H_0:\bar X_1=\bar X_2=\bar X_3.\n \displaystyle H_1: pelo menos uma média difere.
(d) Com \alpha=0{,}05, F_0\approx 0{,}973 < F_{2,8;0{,}05}\approx 4{,}459; logo, não rejeitamos H_0. Conclusão: não há evidência estatística, ao nível de 95\%, de diferença entre os métodos.)

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