O índice de iodo é uma medida da insaturação de óleos e gorduras que indica a quantidade de insaturações presentes nos ácidos graxos que compõem esses óleos. Quanto maior o índice de iodo, maior a insaturação, isto é, mais ligações duplas ou triplas há em sua estrutura. Para isso, um químico testou três métodos analíticos para a determinação de índice de iodo (
) em diferentes amostras de óleos comestíveis.
Método I
Método II
Método III
Amostra 1
48
55
84
Amostra 2
73
85
68
Amostra 3
51
70
95
Amostra 4
65
69
74
Amostra 5
87
90
67
(a) Construa a tabela da ANOVA usando a calculadora;
(b) Compare a ANOVA construída no item (a) com a ANOVA do Excel (toolbox);
(c) Defina as hipóteses nula e alternativa;
(d) Existe diferença entre os métodos em um nível de confiança de 95%?
| Método I | Método II | Método III | |
| Amostra 1 | 48 | 55 | 84 |
| Amostra 2 | 73 | 85 | 68 |
| Amostra 3 | 51 | 70 | 95 |
| Amostra 4 | 65 | 69 | 74 |
| Amostra 5 | 87 | 90 | 67 |
(b) Compare a ANOVA construída no item (a) com a ANOVA do Excel (toolbox);
(c) Defina as hipóteses nula e alternativa;
(d) Existe diferença entre os métodos em um nível de confiança de 95%?
Passo 1
O enunciado apresenta resultados de três métodos analíticos (Método I, II e III) testados em cinco amostras de óleos. As perguntas são:
(a) construir a tabela da ANOVA (usando calculadora);
(b) comparar a ANOVA do item (a) com a ANOVA do Excel (toolbox);
(c) definir as hipóteses nula e alternativa;
(d) decidir se existe diferença entre os métodos ao nível de confiança de 95%.
Informações fornecidas (peguei da tabela do enunciado):
(a) construir a tabela da ANOVA (usando calculadora);
(b) comparar a ANOVA do item (a) com a ANOVA do Excel (toolbox);
(c) definir as hipóteses nula e alternativa;
(d) decidir se existe diferença entre os métodos ao nível de confiança de 95%.
Informações fornecidas (peguei da tabela do enunciado):
Não há mais informações além desses dados; trataremos as amostras como blocos (cada amostra foi medida pelos 3 métodos), ou seja, ANOVA em blocos (two-way sem replicação) para testar efeito dos métodos.
Passo 2
Calcular somas marginais e média geral. Vou somar por método (peguei os valores da tabela):
Número total de observações
. Soma total:
Média geral:
Médias por método (útil para interpretação):
Passo 3
Explicar e calcular a soma total de quadrados
. Fórmula (a ideia): soma dos quadrados das observações menos termo de correção.
Calculei somando quadrados de todos os 15 números (peguei cada valor da tabela):
Calculei
Termo de correção:
Logo
Interpretação:
mede a variabilidade total dos 15 dados em torno da média geral.
Passo 4
Calcular a soma de quadrados de tratamentos (métodos)
. Fórmula:
onde
é o número de observações por método. Computei:
Soma =
. Então
Explicação:
capta a variabilidade entre as médias dos métodos.
Passo 5
Calcular a soma de quadrados de blocos (amostras)
. Para cada amostra (linha) somei os três valores para obter as somas de linha
(peguei da tabela):
Fórmula:
onde
é o número de tratamentos. Calculei:
logo
Interpretação:
capta variação entre as amostras (efeito de bloco).
Passo 6
Calcular a soma de quadrados do erro (resíduo)
. Fórmula:
Substituindo:
Isso é a variabilidade que não foi explicada por métodos nem por blocos.
Passo 7
Calcular graus de liberdade (GL), quadrados médios (MS) e estatísticas
. Para desenho com
métodos,
blocos e
:
- GL total:
- GL métodos:
- GL blocos:
- GL erro:
Quadrados médios:
Estatística
para efeito dos métodos:
Passo 8
Determinar o valor crítico e tomar a decisão. Para nível de significância
e indicadores
, o valor crítico da distribuição
é aproximadamente
Comparação:
. Portanto não rejeitamos a hipótese nula (ver próximo passo para hipóteses).
Passo 9
Comparação com ANOVA do Excel (toolbox) e interpretação das hipóteses.
(b) Sobre a comparação: a ANOVA que o Excel gera para um layout de blocos sem replicação deve apresentar os mesmos valores (talvez pequenas diferenças de arredondamento). Ou seja, os resultados numéricos calculados acima (SS, MS, F) devem coincidir com os do Excel. Se você executar a ANOVA de blocos no Excel, espere valores iguais a 3 casas decimais ao que calculei.
(c) Hipóteses (para o teste de efeito dos métodos):
(b) Sobre a comparação: a ANOVA que o Excel gera para um layout de blocos sem replicação deve apresentar os mesmos valores (talvez pequenas diferenças de arredondamento). Ou seja, os resultados numéricos calculados acima (SS, MS, F) devem coincidir com os do Excel. Se você executar a ANOVA de blocos no Excel, espere valores iguais a 3 casas decimais ao que calculei.
(c) Hipóteses (para o teste de efeito dos métodos):
(d) Como
é menor que o valor crítico, não há evidência, ao nível de
de confiança, para afirmar que existe diferença entre os métodos.
Passo 10
Apresento aqui a tabela ANOVA final (valores arredondados) que você pode comparar com o Excel. Todas as quantidades numéricas abaixo foram calculadas a partir dos dados da tabela do enunciado.
| Fonte de variação | GL | SQ | QM | F |
|---|---|---|---|---|
| Métodos |
|
|
|
|
| Amostras (blocos) |
|
|
|
|
| Erro (resíduo) |
|
|
|
|
| Total |
|
|
Resposta
(a) ANOVA (tabela):
Métodos:
(b) A ANOVA do Excel deve coincidir com a tabela acima (diferenças mínimas só por arredondamento).
(c) \n
pelo menos uma média difere.
(d) Com ,
; logo, não rejeitamos
. Conclusão: não há evidência estatística, ao nível de
, de diferença entre os métodos.)
Métodos:
(b) A ANOVA do Excel deve coincidir com a tabela acima (diferenças mínimas só por arredondamento).
(c)
(d) Com