Analistas de produção verificaram que em uma montadora X\), o número de peças produzidas nas primeiras \(t\) horas diárias de trabalho é dado por \[f(t)= \begin{cases}50\left(t^{2}+t\right), & \text { se } 0 \leqslant t \leqslant 4 \\\\ 200(t+1), & \text { se } 4 \leqslant t \leqslant 8\end{cases}
(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas? Resp: 350 peças/hora de trabalho; 200 peças/hora de trabalho
(b) Quantas peças são produzidas na (8^{\mathrm{a}}] hora de trabalho?

Passo 1

O enunciado dá a produção acumulada em t\) horas pela função por partes \[f(t)= \begin{cases} 50\bigl(t^{2}+t\bigr), & 0 \le t \le 4,\\[6pt] 200\,(t+1), & 4 \le t \le 8. \end{cases}
Pede-se (a) a razão de produção, isto é, a derivada f'(t)\], avaliada em \(t=3 e t=7; e (b) o número de peças produzidas na 8ª hora, que é f(8)-f(7).]

Passo 2

Para 0\le t\le4 temos
f(t)=50\bigl(t^{2}+t\bigr)
e, pela regra de derivação de polinômios,
f'(t)=50\cdot(2t+1)=100t+50.
Logo, a razão de produção após 3 horas é
f'(3)=100\cdot3+50=350\quad\text{(peças por hora).}ç

Passo 3

Para 4\le t\le8 vale
f(t)=200\,(t+1),
que é linear em t, logo
f'(t)=200.
Assim, após 7 horas a razão de produção é
f'(7)=200\quad\text{(peças por hora).}ç

Passo 4

O número de peças produzidas na 8ª hora é a diferença
f(8)-f(7).
Calculando
f(8)=200\,(8+1)=200\cdot9=1800,
f(7)=200\,(7+1)=200\cdot8=1600,
logo
f(8)-f(7)=1800-1600=200\quad\text{(peças).}ç

Resposta

(a) 350 peças/hora em t=3 horas; 200 peças/hora em t=7 horas.
(b) 200 peças na 8ª hora.

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